論文の概要: Barycentric Projections of Optimal Transport Plans on Riemannian Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.07926v1
• Date: Sat, 06 Jun 2026 01:31:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-09 14:42:05.540462
• Title: Barycentric Projections of Optimal Transport Plans on Riemannian Manifolds
• Title（参考訳）: リーマン多様体上の最適輸送計画のバリー中心射影
• Authors: Kisung You,
• Abstract要約: 我々は輸送結合のバリ中心射影のための枠組みを開発する。 固有射影では、各元は目的地法則の条件付きフレシェ平均に写像される。 離散結合の場合、両方の構成は行を重み付けされたフレシェ平均と対数問題に分解する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.31727619150610836
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Optimal transport couplings are probabilistic objects, while many learning pipelines require deterministic maps. In Euclidean space, barycentric projection converts a coupling into a map by taking conditional expectations, but on a Riemannian manifold curvature and cut loci make this operation nontrivial. We develop a framework for barycentric projections of transport couplings on Riemannian manifolds. The intrinsic projection maps each source point to the conditional Fréchet mean of its destination law and is shown to be the best deterministic representative under squared geodesic loss. The corresponding minimum value is an integrated conditional Fréchet variance, which vanishes exactly for map-induced couplings and therefore defines a conditional-variance Monge defect. We also study a tangential log-exp projection, prove its Euclidean exactness, its compatibility with Brenier-McCann maps in the Monge case, and its interpretation as the first unit Riemannian gradient update for the intrinsic objective. For discrete couplings, both constructions decompose row-wise into weighted Fréchet mean and log-exp problems. Experiments on spherical data, synthetic SPD data, and real EEG covariance matrices support the proposed division of roles: the intrinsic projection is the variational representative, while the tangential projection is a useful local displacement surrogate.
• Abstract（参考訳）: 最適輸送結合は確率論的対象であり、多くの学習パイプラインは決定論的写像を必要とする。 ユークリッド空間において、バリ中心射影は条件付き期待を取ることによって結合を写像に変換するが、リーマン多様体の曲率とカットローチは、この演算を非自明にする。 我々はリーマン多様体上の輸送結合のバリ中心射影の枠組みを開発する。 固有射影は、各源点を目的地法則の条件フレシェ平均にマッピングし、二乗測地線の損失の下では最良の決定論的代表であることが示されている。 対応する最小値(英語版)は積分条件フレシェ分散(英語版)(Integrated conditional Fréchet variance)であり、これは写像によって引き起こされるカップリングに対して正確に消滅し、従って条件変数のモンジュ欠陥を定義する。 また、有接対数対数射影、ユークリッドの正確性、モンジュの場合のブレニエ・マッカン写像との整合性、本質的な目的に対するリーマン勾配の最初の単位としての解釈についても検討する。 離散結合の場合、両方の構成は行を重み付けされたフレシェ平均と対数問題に分解する。 球面データ,合成SPDデータ,および実脳波共分散行列の実験は,本質的投射が変分的代表であるのに対し,接的投射は局所的転位代理として有用である,という2つの役割の分割を支持する。

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