論文の概要: Structure-Preserving Neural Surrogates with Tractable Uncertainty Quantification

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.11650v1
• Date: Wed, 10 Jun 2026 04:27:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-11 16:42:38.292772
• Title: Structure-Preserving Neural Surrogates with Tractable Uncertainty Quantification
• Title（参考訳）: トラクタブル不確実性量子化による構造保存型ニューラルサロゲート
• Authors: Handi Zhang, Adrienne M. Propp, Brooks Kinch, Houman Owhadi, Nathaniel Trask,
• Abstract要約: 機械学習の最近の進歩は、偏微分方程式(PDE)に対する準リアルタイム解の手段を提供する 我々は、構造保存、リアルタイムサロゲートとして機能するデータ駆動の減階モデルを構築した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.8001568807112855
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Recent advances in scientific machine learning provide a means of near-real-time solution to partial differential equations (PDEs), but lack the theoretical underpinnings of conventional simulators that support contemporary verification and validation. In this work, we construct data-driven reduced-order models that serve as structure-preserving, real-time surrogates. Remarkably, the exterior calculus that imposes physical conservation structure also exposes topological structure that we use to build a Gaussian process (GP) representation of uncertainty in state-flux relationships, ultimately yielding a Dirichlet-to-Neumann map for quantities of interest with closed-form expressions for posterior uncertainty. We specifically propose structure-preserving $H(\mathrm{div})$--$L^2$ subspaces of conventional Raviart--Thomas and $dgP_0$ elements prescribed by a lightweight transformer. Reduced-order dynamics consistent with this subspace are learned by posing a conservation law in which a GP describes the fluxes between volumes. This work hinges on a novel interface between mixed FEM spaces and GP regression; when training is posed as the optimal recovery problem (ORP), the resulting GP regression can be written as an optimization problem with equality constraints that impose a conservation structure, amenable to a fast Schur-complement training strategy. The trained model can then be solved in real time with closed-form estimators for boundary fluxes driven by prescribed Dirichlet data. The paper includes RKHS posterior error bounds for linear functionals to support uncertainty quantification, as well as numerical experiments demonstrating the accuracy of the posterior distribution as a surrogate for error estimation.
• Abstract（参考訳）: 科学機械学習の最近の進歩は、偏微分方程式(PDE)に対するほぼリアルタイムの解法を提供するが、現代の検証と検証をサポートする従来のシミュレータの理論的基盤を欠いている。 本研究では,構造保存,リアルタイムサロゲートとして機能するデータ駆動型低次モデルを構築する。 注意すべきことに、物理的保存構造を課す外部計算は、状態-流束関係における不確かさのガウス過程(GP)表現を構築するのに使用する位相構造を露呈し、最終的に、後続不確かさに対する閉形式表現との量のディリクレ-ノイマン写像が得られる。 具体的には、従来のラヴィアート-トーマスおよび軽量変圧器で規定される$dgP_0$要素の、構造保存$H(\mathrm{div})$--$L^2$部分空間を提案する。 この部分空間と整合した低次ダイナミクスは、GPが体積間のフラックスを記述する保存法則を踏襲することによって学習される。 この研究は混合FEM空間とGP回帰の間の新しいインターフェースをベースとしており、トレーニングを最適回復問題 (ORP) として設定すると、GP回帰は保存構造を課す等式制約を持つ最適化問題として記述され、高速シュア補足訓練戦略に対応できる。 トレーニングされたモデルは、所定のディリクレデータによって駆動される境界フラックスに対する閉形式推定器でリアルタイムに解くことができる。 本稿では,不確かさの定量化を支援する線形汎関数に対するRKHS後部誤差境界と,誤差推定の代用として後部分布の精度を示す数値実験を含む。

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