論文の概要: Quadratic APN Functions in Dimension 8 via Gröbner Basis Search in a Self-Equivalence Subspace

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.11967v1
• Date: Wed, 10 Jun 2026 11:45:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-18 14:24:01.052461
• Title: Quadratic APN Functions in Dimension 8 via Gröbner Basis Search in a Self-Equivalence Subspace
• Title（参考訳）: 自己等価部分空間におけるGröbner Basis Searchによる次元8の二次APN関数
• Authors: Oleksandr Kuznetsov,
• Abstract要約: 構造化自己同値部分空間内の次元8の二次APN関数を探索する。 428個の超平面計算から、65,536個の超平面の0.65%をカバーし、6つのCCZ等価クラスを形成する566個の二次APN関数を得た。 500の関数からなる4つのクラスは、2025年のデータベースの3,775,599の二次APN関数や、12,921のインスタンスの2020年以前のコンパイルに一致しない。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 20.271194684947282
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We describe a computational search for quadratic APN (Almost Perfect Nonlinear) functions in dimension 8 within a structured self-equivalence subspace. The search space is a 40-dimensional binary linear subspace consisting of all functions commuting with a linear automorphism of order 5 (class 22 in the taxonomy of Beierle, Brinkmann, and Leander, 2021), previously reported to contain no APN functions. Our approach combines random sampling via an explicit RREF parameterization (approximately 600 fresh APN-positive evaluations per core-hour) with Gröbner basis computation in Magma to enumerate all APN functions in a 24-dimensional hyperplane through each center (approximately 10 minutes per hyperplane). From 428 hyperplane computations, covering 0.65% of all 65,536 hyperplanes, we obtained 566 quadratic APN functions forming six CCZ-equivalence classes under the ortho-derivative invariant. Four classes, comprising 500 functions, match no entry in the 2025 database of 3,775,599 quadratic APN functions or in the pre-2020 compilation of 12,921 instances. Two classes (66 functions) are CCZ-equivalent to the Gold functions x^3 and x^9, confirming the correctness of the search pipeline. A membership analysis shows that the three new classes (B, C, D) lie entirely outside the original subspace and occur only in Gold-centered slices, demonstrating the essential role of the Gröbner basis stage. In 532 experiments using database functions as slice centers and 20 experiments with random centers, no APN neighbors were found, indicating that the gateway phenomenon is specific to the self-equivalence structure of the search space. Since the ortho-derivative invariant is a complete CCZ-invariant for quadratic APN functions, the absence of matching signatures provides a rigorous proof of CCZ-inequivalence.
• Abstract（参考訳）: 構造付き自己同値部分空間内の次元8における二次APN(Almost Perfect linear)関数の計算探索について述べる。 探索空間は、次数 5 の線型自己同型 (class 22 in the taxonomy of Beierle, Brinkmann, and Leander, 2021) を持つすべての関数からなる40次元線型線型部分空間である。 提案手法は,明示的なRREFパラメータ化(コア時間あたり約600のAPN陽性評価)とマグマのGröbner基底計算とを組み合わせて,24次元超平面内のすべてのAPN関数を各中心(超平面あたり約10分)で列挙する。 428個の超平面計算から、65,536個の超平面の0.65%をカバーし、566個の二次APN関数を得た。 500の関数からなる4つのクラスは、2025年のデータベースの3,775,599の二次APN関数や、12,921のインスタンスの2020年以前のコンパイルに一致しない。 2つのクラス (66 関数) はゴールド関数 x^3 と x^9 と等価であり、探索パイプラインの正しさを確認する。 メンバーシップ解析により、3つの新しいクラス (B, C, D) が元の部分空間の外側に完全に存在し、ゴールド中心のスライスでのみ発生し、グレーブナー基底ステージの本質的な役割を証明している。 データベース関数をスライスセンターとして使用し、ランダムセンターを用いた20の実験を行ったが、APNの隣人は見つからず、ゲートウェイ現象は検索空間の自己等価構造に特異的であることを示した。 正微分不変量は二次APN函数に対する完全CCZ不変量であるため、一致するシグネチャが存在しないことは、CCZ同値性の厳密な証明となる。

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