論文の概要: Reduced basis algorithm for solving nonlinear differential equations on quantum computers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.13457v1
• Date: Thu, 11 Jun 2026 15:13:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-12 15:55:27.87643
• Title: Reduced basis algorithm for solving nonlinear differential equations on quantum computers
• Title（参考訳）: 量子コンピュータ上の非線形微分方程式を解くための還元基底アルゴリズム
• Authors: Monica Lăcătuş, Matthias Möller, Sauro Succi,
• Abstract要約: 非線形常微分方程式(ODE)と空間離散化偏微分方程式(PDE)に対する還元基底アルゴリズム(RBA)を導入する。 ND$グリッドポイント上で離散化されたPDEに対して、局所性に基づく構成は、少なくとも$q_mmathrmPDE = O(Dlog N + n mD+1log p)$ qubitsを必要とする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: As quantum computing moves toward scientific computing applications, nonlinear differential equations remain a central challenge since quantum evolution is intrinsically linear. In this work, we introduce a reduced basis algorithm (RBA) for polynomial nonlinear ordinary differential equations (ODEs) and spatially discretized partial differential equations (PDEs). After time discretization, the method composes the resulting polynomial update map over $m$ timesteps, identifies the reduced monomial basis appearing in this composed map, and constructs a linear RBA operator whose action recovers the exact $m$-timestep nonlinear dynamics. Thus, at the level of the chosen discrete update rule, the method introduces no additional approximation error beyond the time discretization error. The qubit number requirement is governed by the size of the reduced monomial basis. For an $n$-dimensional polynomial ODE system of degree $p>1$, the lifted register requires at most $q_m^{\mathrm{ODE}} = O(nm\log p)$ qubits in the full basis scenario. For PDEs discretized on $N^D$ grid points, a locality-based construction requires at most $q_m^{\mathrm{PDE}} = O(D\log N + n m^{D+1}\log p)$ qubits. Hence, the dependence on the grid size remains logarithmic, while the nonlinear overhead is controlled by local reduced basis size. The main computational burden is moved from the quantum computer to a classical preprocessing step, where the reduced monomial basis and RBA operator are constructed for the chosen timestep window. Through numerical tests on the Lorenz system and the one-dimensional Burgers equation, we verify that the RBA reproduces the corresponding discrete time nonlinear dynamics exactly, while exposing the trade-off between timestep composition, reduced basis growth, and locality.
• Abstract（参考訳）: 量子コンピューティングが科学計算の応用に向かって進むにつれ、非線形微分方程式は本質的に線形であるため中心的な課題である。 本研究では,多項式非線形常微分方程式 (ODE) と空間離散化偏微分方程式 (PDE) に対する還元基底アルゴリズム (RBA) を導入する。 時間離散化後、この方法は結果の多項式更新マップを$m$タイムステップに構成し、この合成マップに現れる減少単項基底を特定し、アクションが正確な$m$タイムステップの非線形ダイナミクスを回復する線形 RBA 演算子を構築する。 したがって、選択された離散更新規則のレベルでは、時間離散化誤差以外の追加の近似誤差は導入されない。 量子ビット数要件は、削減された単項基底のサイズによって支配される。 次数$p>1$の$n$次元多項式ODE系の場合、持ち上げレジスタは、全基底シナリオにおいて少なくとも$q_m^{\mathrm{ODE}} = O(nm\log p)$ qubitsを必要とする。 N^D$ 格子点上で離散化された PDE に対し、局所性に基づく構成は、少なくとも$q_m^{\mathrm{PDE}} = O(D\log N + n m^{D+1}\log p)$ qubits を必要とする。 したがって、グリッドサイズへの依存は対数的であり、非線形オーバーヘッドは局所的に削減された基底サイズによって制御される。 主な計算負担を量子コンピュータから古典的な前処理ステップに移動させ、選択した時間ステップウィンドウに対して単項基底とRCA演算子を構築する。 ローレンツ方程式と1次元バーガース方程式の数値実験により, RBAは時間ステップ組成, 基底成長, 局所性のトレードオフを露呈しながら, 対応する離散時間非線形ダイナミクスを正確に再現することを確認した。

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