論文の概要: Perfect State Transfer on Quotient Graphs in Shunt Decomposition-Based Quantum Walks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.24440v1
• Date: Tue, 23 Jun 2026 11:18:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-24 22:16:48.915519
• Title: Perfect State Transfer on Quotient Graphs in Shunt Decomposition-Based Quantum Walks
• Title（参考訳）: シュート分解に基づく量子ウォークにおけるクオリティグラフの完全状態伝達
• Authors: Banita Katuwal, Srinath M S, Y Lakshmi Naidu, Supriyo Dutta,
• Abstract要約: 本稿では,シャント分解法による離散時間における完全状態伝達(PST)について検討する。 親グラフのシフト作用素 $G$ と商グラフ $G/$ との明示的な関係を導出する。 PSTが$G$で、かつ$G/$でのみ発生することを証明します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper investigates perfect state transfer (PST) in discrete-time quantum walks constructed via the shunt decomposition method. The walks are defined on a graph $G$ and its associated quotient graph $G/π$, induced by an equitable partition $π$. Through the shunt decomposition of $G$, we derive an explicit relation between the shift operator of the parent graph $G$ and that of its quotient graph $G/π$. We construct a reflection operator based on the characteristic matrix, which establishes a connection between the transition operator of the parent graph and that of its lower-dimensional quotient graph. We then prove that PST occurs on $G$ if and only if it occurs on $G/π$. Furthermore, we express the unitary evolution operator of the quotient graph in terms of Chebyshev polynomials of the first kind, from which we derive explicit criteria for PST. As an application, we establish PST on the cycle graph $C_{n}$ at time $k = n/2$, and lift the result to the parent graph $C_{2n}$ via the equitable partition $π$. We further show that if an equitable partition $π$ of $G$ induces a quotient isomorphic to $K_n^{\circlearrowleft}$, the complete digraph on $n$ vertices with a loop at every vertex, then PST occurs at step $k = n$, and the walk is periodic at $k = 2n$. This framework is applied to two families of graphs, which are the complete bipartite digraph $K_{n,n}^{\rightleftharpoons}$ and the circulant graph $\operatorname{Circ}(2n, S)$, where $S$ consists of all odd residues modulo $2n$ and $n = 2^s$ for some $s \geq 1$, establishing PST in their respective line digraphs. Collectively, these results also answer the question posed by Godsil and Zhan concerning which shunt decompositions or embeddings of a graph admit PST.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,シャント分解法を用いて構築した離散時間量子ウォークにおける完全状態伝達(PST)について検討する。 ウォークはグラフ $G$ とその関連する商グラフ $G/π$ 上で定義され、等方分割 $π$ によって誘導される。 G$ のシャント分解を通して、親グラフ $G$ のシフト作用素と商グラフ $G/π$ のシフト作用素との明示的な関係を導出する。 我々は,親グラフの遷移演算子と,その下次元商グラフとの接続を確立する特性行列に基づく反射演算子を構築する。 すると、PST が$G$で、かつ$G/π$でのみ発生することを証明します。 さらに、商グラフのユニタリ進化作用素を第一種のチェビシェフ多項式で表現し、PSTの明確な基準を導出する。 応用として、サイクルグラフ $C_{n}$ at at time $k = n/2$, and lift the result to the parent graph $C_{2n}$ through the equitable partition $π$。 さらに、等しい分割 $π$ of $G$ が$K_n^{\circlearrowleft}$ に商同型を誘導すると、すべての頂点でループを持つ$n$頂点上の完全グラフは、ステップ $k = n$ で PST が発生し、ウォークは $k = 2n$ で周期的であることを示す。 このフレームワークは、完全な二部グラフ $K_{n,n}^{\rightleftharpoons}$ と循環グラフ $\operatorname{Circ}(2n, S)$ の2種類のグラフに適用される。 これらの結果は、グラフのシャント分解や埋め込みが PST を許容するかどうかというゴドシルとジャンの問いにも総合的に答える。

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