論文の概要: Factorization through Lorentz cones

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.27825v1
• Date: Fri, 26 Jun 2026 08:08:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-29 18:24:25.427966
• Title: Factorization through Lorentz cones
• Title（参考訳）: ローレンツコーンによる因子化
• Abstract要約: 我々は、$(mathsfC_square,mathsfC$) が LFP を持つことを示す:$mathsfC$ が対称錐、すなわちローレンツ錐の直和である。 量子情報理論における問題への応用についても論じる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 43.57338639836868
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A pair of proper cones $(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$ is said to have the Lorentz factorization property (LFP) if every $(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$-positive map factors through a direct sum of Lorentzian cones, i.e., cones over Euclidean balls. Clearly, $(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$ has the LFP if either $\mathsf{C}_1$ or $\mathsf{C}_2$ is a direct sum of Lorentzian cones, and our main goal is to find other examples. We show that such examples cannot be found for pairs $(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$ where $\mathsf{C}_1=\mathsf{C}_2$, or in the case where both $\mathsf{C}_1$ and $\mathsf{C}_2$ are polyhedral. We also focus on the case where $\mathsf{C}_1=\mathsf{C}_\square$ is the square-based cone in $\mathbf{R}^3$. Here, we show that $(\mathsf{C}_\square,\mathsf{C})$ has the LFP whenever $\mathsf{C}$ is a symmetric cone, i.e., a direct sum of Lorentz cones, cones of positive semidefinite matrices over the real numbers, complex numbers or quaternions, and the cone of $3\times 3$ positive semidefinite matrices over the octonions. We leave open the question whether there are more examples, but we show that this list cannot be extended by any strictly convex cone $\mathsf{C}$ or for a cone $\mathsf{C}$ with $\text{dim}(\mathsf{C})\leq 5$. Finally, we discuss an application to a problem in quantum information theory.
• Abstract（参考訳）: 一対の固有円錐 $(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$ がローレンツ分解特性 (LFP) を持つことは、すべての $(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$-正の写像因子がローレンツ錐の直和、すなわちユークリッド球の上の円錐によって与えられることを言う。 明らかに、$(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$ が LFP を持つのは、$\mathsf{C}_1$ または $\mathsf{C}_2$ がローレンツ錐の直和であり、我々の主な目標は他の例を見つけることである。 そのような例は、ペア $(\mathsf{C}_1,\mathsf{C}_2)$ ここでは、$\mathsf{C}_1=\mathsf{C}_2$、または、$\mathsf{C}_1$と$\mathsf{C}_2$の両方が多面体である場合には、見つからない。 また、$\mathsf{C}_1=\mathsf{C}_\ square$ が $\mathbf{R}^3$ の平方錐である場合にも注目する。 ここで、$(\mathsf{C}_\ square,\mathsf{C})$ が LFP を持つとき、$\mathsf{C}$ は対称錐、すなわちローレンツ錐の直和、実数、複素数または四元数上の正半定行列の円錐、および三重項上の正半定行列の円錐である。 より多くの例があるかどうかという疑問は残るが、このリストは厳密な凸錐 $\mathsf{C}$ や、$\text{dim}(\mathsf{C})\leq 5$ の錐 $\mathsf{C}$ では拡張できない。 最後に,量子情報理論における問題への応用について論じる。

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