論文の概要: Statistically Meaningful Geometry (SMG) Beyond the Euclidean Paradigm, with Application to Generative AI

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.03329v1
• Date: Fri, 03 Jul 2026 13:46:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-07 22:26:29.591503
• Title: Statistically Meaningful Geometry (SMG) Beyond the Euclidean Paradigm, with Application to Generative AI
• Title（参考訳）: ユークリッドパラダイムを超えて統計的に意味のある幾何学(SMG)と生成AIへの応用
• Authors: Bing Cheng, Yi-Shuai Niu, Howell Tong, Shing-Tung Yau,
• Abstract要約: 本稿では,パラメトリックモデルから無限次元最小化非漸近統計へ持ち上げる情報幾何学的パラダイムである統計的意味幾何(SMG)フレームワークを紹介する。 接続フィルタによる事前学習の下では、分布外分布予測分散は、同定可能な基底多様体 $mathcalB$ の有限径によって厳密に上界となり、生成幻覚の厳密な幾何学的包含が確立される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7766379063545538
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Conventional uniform convergence bounds and empirical risk minimization break down in massive over-parameterized models, such as large language transformers and biological sequence networks. With near-infinite unconstrained internal degrees of freedom, their optimization landscapes develop flat vertical gauge valleys, rendering classical generalization metrics vacuous and inducing severe pathologies, specifically generative hallucination and catastrophic forgetting. We introduce the Statistically Meaningful Geometry (SMG) framework, an information-geometric paradigm lifting deterministic parametric models into infinite-dimensional non-parametric Orlicz statistical manifolds. Modeling the total state space as a differential fiber bundle ($\mathcal{M}, \mathcal{B}, π, \mathcal{V}, \mathcal{H}, ω$), we establish a Two-Fold Inference Paradigm. We formalize an Ehresmann connection 1-form $ω$ as a dynamic geometric filter that strips away vertical gauge noise (Structural Internal Directions, or SID) and isolates learning trajectories along the strictly non-degenerate horizontal distribution (Statistical Variational Directions, or SVD$χ$). We prove that under connection-filtered pre-training, out-of-distribution predictive variance is strictly upper-bounded by the finite diameter of the identifiable quotient base manifold $\mathcal{B}$, establishing a hard geometric containment of generative hallucinations. By projecting downstream updates onto the orthogonal complement of the historical horizontal carriage, we formalize the SMG Sequential Adaptation Flow, proving the total non-asymptotic elimination of catastrophic forgetting. SMG replaces empirical fine-tuning heuristics with coordinate-free topological constraints, bridging advanced differential geometry with structural reliability in AI.
• Abstract（参考訳）: 従来の一様収束境界と経験的リスク最小化は、大きな言語変換器や生物学的配列ネットワークなどの大規模過パラメータ化モデルで破られる。 ほぼ無限に制限されていない内的自由度により、最適化された景観は平らな垂直なゲージ谷を発達させ、古典的な一般化のメトリクスを空っぽにし、特に生成幻覚と破滅的な忘れ物を引き起こす。 我々は、決定論的パラメトリックモデルを無限次元の非パラメトリックオルリッツ統計多様体に持ち上げる情報幾何学パラダイムである統計的意味幾何(SMG)フレームワークを導入する。 全状態空間を微分ファイバー束としてモデル化する(\mathcal{M}, \mathcal{B}, π, \mathcal{V}, \mathcal{H}, ω$)。 Ehresmann 接続 1-形式 $ω$ を、垂直ゲージノイズ(構造内部方向、SID)を除去し、厳密な非退化水平分布(統計変分方向、SVD$)に沿って学習軌跡を分離する動的幾何フィルタとして定式化する。 接続フィルタによる事前学習の下では、分布外予測分散は同定可能な商基底多様体 $\mathcal{B}$ の有限径によって厳密に上界化され、生成幻覚の硬い幾何学的包含が確立される。 歴史的水平馬車の直交補体に下流更新を投影することにより,SMGシーケンス適応フローを定式化し,破滅的忘れ込みの非漸近的除去を証明した。 SMGは、経験的な微調整ヒューリスティックを座標自由位相制約に置き換え、AIの構造的信頼性を持つ高度な微分幾何学をブリッジする。

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