論文の概要: Random Dot Product Graphs as Dynamical Systems: Limitations and Opportunities

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.05703v1
• Date: Thu, 05 Mar 2026 21:56:07 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-09 13:17:44.586891
• Title: Random Dot Product Graphs as Dynamical Systems: Limitations and Opportunities
• Title（参考訳）: 動的システムとしてのランダムドット製品グラフ - 限界と機会
• Abstract要約: ランダムドット製品グラフ内の時間ネットワークの進化を規定する微分方程式について検討する。 遅延位置における回転あいまいさからのゲージ自由度、確率行列の多様体構造からの実現可能性制約、スペクトル埋め込みによる軌道回復アーティファクトの3つの基本的な障害を同定する。 対称力学はスキュー対称ゲージ汚染を吸収できないので、力学構造は障害物を解消できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Can we learn the differential equations governing the evolution of a temporal network? We investigate this within Random Dot Product Graphs (RDPGs), where each network snapshot is generated from latent positions evolving under unknown dynamics. We identify three fundamental obstructions: gauge freedom from rotational ambiguity in latent positions, realizability constraints from the manifold structure of the probability matrix, and trajectory recovery artifacts from spectral embedding. We develop a geometric framework based on principal fiber bundles that formalizes these obstructions. We characterize invisible dynamics as exactly the skew-symmetric generators, and show the realizable tangent space has dimension $nd - d(d-1)/2$. An holonomy dichotomy emerges: polynomial dynamics have commuting generators, stationary eigenvectors, and trivial holonomy, making gauge alignment purely statistical; Laplacian dynamics satisfy a non-commutativity criterion producing nontrivial holonomy, with curvature weighted by $1/(λ_ι+ λ_γ)$ linking gauge sensitivity to the spectral gap. In $d=2$ this yields full restricted holonomy $\mathrm{SO}(2)$; for $d \ge 3$ generic full $\mathrm{SO}(d)$ remains conjectural. Cram'er--Rao lower bounds reveal that the same spectral gap controlling curvature and injectivity simultaneously controls Fisher information, so geometric and statistical difficulty are inextricable. We prove an identifiability principle: symmetric dynamics cannot absorb skew-symmetric gauge contamination, so dynamics structure can resolve gauge ambiguity. We demonstrate this constructively with anchor-based alignment and a UDE pipeline recovering vector fields from noisy graph sequences. Yet finite-sample interactions between noise, gauge, and dynamics expressiveness remain beyond the asymptotic theory. We frame this gap as an open challenge.
• Abstract（参考訳）: 時間的ネットワークの進化を規定する微分方程式を学べるか? 我々はRandom Dot Product Graphs (RDPGs) でこれを検証し、各ネットワークスナップショットは未知のダイナミクスの下で進化する潜在位置から生成される。 遅延位置における回転あいまいさからのゲージ自由度、確率行列の多様体構造からの実現可能性制約、スペクトル埋め込みによる軌道回復アーティファクトの3つの基本的な障害を同定する。 これらの障害を形式化する主繊維束に基づく幾何学的枠組みを開発する。 我々は、目に見えない力学をスキュー対称な生成元として特徴付け、実現可能な接空間が次元 $nd - d(d-1)/2$ であることを示す。 多項式力学は可換生成器、定常固有ベクトル、自明なホロノミーを持ち、ゲージアライメントを純粋に統計的にする; ラプラシア力学は非可換性基準を満たす非自明なホロノミーを生成する。 $d=2$ において、これは完全制限ホロノミー $\mathrm{SO}(2)$; for $d \ge 3$ general full $\mathrm{SO}(d)$ を導出する。 Cram'er--Rao の下界は、同じスペクトルギャップが曲率を制御し、インジェクティビティが同時にフィッシャー情報を制御しているため、幾何学的および統計的に困難である。 対称力学はスキュー対称ゲージ汚染を吸収できないので、力学構造はゲージのあいまいさを解消できる。 提案手法は,雑音の多いグラフ列からベクトル場を復元するアンカーベースアライメントとUDEパイプラインを用いて構成的に実証する。 しかし、ノイズ、ゲージ、ダイナミックス表現性の間の有限サンプル相互作用は漸近理論を超えている。 私たちはこのギャップをオープンな課題と捉えています。

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