論文の概要: Level-Crossing Density as a Mesh-Free High-Frequency Auxiliary Loss for Implicit Neural Representations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.05815v1
- Date: Tue, 07 Jul 2026 04:23:23 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-08 21:24:51.398167
- Title: Level-Crossing Density as a Mesh-Free High-Frequency Auxiliary Loss for Implicit Neural Representations
- Title（参考訳）: メッシュフリー高周波補助損失としてのレベルクラッシング密度
- Abstract要約: 格子も複雑も永続性もない連続神経場に対するスムーズなモンテカルロ推定器を導出する。
推定器は2Dと3Dの正確なトポロジーに対して1-3%の精度で、1イテレーションあたり約3ミリ秒の費用がかかる。
しかし、3Dニューラル-SDFフィッティングでは、任意のサンプルソフトトポロジーの目的に対して一般的な障害モードが現れると信じている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The Minkowski functionals of a field's excursion sets -- area, boundary measure, and Euler characteristic -- describe its level-set morphology; the Euler characteristic is the cheapest handle on topology. We derive smooth Monte-Carlo estimators for all three of a continuous neural field, evaluated at scattered points via the co-area formula and Gauss-Bonnet, using only autodiff: no grid, no complex, no persistence. The estimator is accurate to 1-3% against exact topology in 2D and 3D, and costs about 3 ms per iteration where a persistent-homology (PH) loss on a cubical grid costs 650-1000 ms -- a 250x gap. We establish four design rules without which these losses silently fail: a dense level ladder (invariants are flat in the parameters away from transitions), a $C^2$ backbone (ReLU nets hide curvature in kinks), the full Minkowski vector (Euler characteristic alone is an alternating sum, gamed by debris-hole cancellation; pricing perimeter closes the channel), and sampling-scale coverage. In 2D the vector-valued cap is the only method in a controlled comparison that both repairs topology (3/3 seeds) and preserves fidelity -- uniform smoothing repairs at 11-17x the fidelity cost, and the Euler term alone repairs nothing. In 3D neural-SDF fitting, however, a failure mode we believe general to any sampled soft topology objective appears: gradient descent adversarially hides topological noise below the sampling density, where the estimator is blind -- spurious-feature counts are invariant to 4x more samples, and closing the window needs cubically many points, erasing the cost advantage. A grid-based PH baseline, whose complex is the evaluation resolution, solves the same benchmark ($4/9$ exact; median $b_1$ error 1 vs. ours above $10^4$). The 250x cost of persistence is, at present, the price of having no null space. We release estimators, receipts, and benchmarks.
- Abstract（参考訳）: 領域、境界測度、オイラー特性のミンコフスキー函数は、そのレベルセットのモルフォロジーを記述している; オイラー特性はトポロジー上の最も安価なハンドルである。
連続ニューラルネットワークの3つすべてに対してスムーズなモンテカルロ推定器を導出し、コリア式とガウス・ボネットによる散乱点で評価し、オートディフ(格子なし、複素数なし、永続性なし)のみを用いた。
推定器は2Dと3Dの正確なトポロジーに対して1-3%正確で、1回あたり約3ミリ秒のコストで、立方体グリッド上でのPH損失は650-1000ミリ秒であり、ギャップは250倍である。
以上の4つの設計規則は、高密度なレベルラグ(遷移から離れたパラメータでは不変量)、$C^2$バックボーン(キンクの曲率を隠蔽するReLUネット)、フルミンコフスキーベクトル(エウラー特性だけでは、デブリホールキャンセルでゲームされ、価格はチャネルを閉じる)、サンプリングスケールカバレッジである。
2Dでは、ベクトル値キャップは、トポロジー(3/3シード)を修復し、忠実さを保ち、均一なスムーズな修復を11-17倍にし、オイラー項だけでは修復しない、制御された比較において唯一の方法である。
勾配降下はサンプリング密度の下のトポロジ的ノイズを逆向きに隠し、推定器は盲目である -- 急激な数値は4倍のサンプルに不変であり、ウィンドウを閉じるには3倍の点が必要であり、コストの優位性を排除している。
グリッドベースのPHベースラインは、評価解像度が複雑で、同じベンチマーク(正確には4/9ドル、中央値はb_1$エラー1対10^4ドル)を解決します。
永続性の250倍のコストは、現在、null空間を持たない価格である。
私たちは推定器、レシート、ベンチマークをリリースします。
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