論文の概要: When Do Geometric Algebra Layers Beat Scalarization? A Controlled Study on SO(3)-Equivariant Vector Laws

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.06634v1
• Date: Tue, 07 Jul 2026 13:55:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-09 22:50:30.162358
• Title: When Do Geometric Algebra Layers Beat Scalarization? A Controlled Study on SO(3)-Equivariant Vector Laws
• Title（参考訳）: 幾何学的代数層がスカラー化に勝つのはいつか? SO(3)-等変ベクトル法則の制御による研究
• Abstract要約: 幾何学的代数層は低データ3次元学習の一般的なショートカットではなく、対象がグループ要素を深く構成する場合に有効であることを示す。 幾何学的代数層は低データ3次元学習の一般的なショートカットではなく、対象がグループ要素を深く構成するとき、正確に有用になる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Compact networks built from Clifford algebra Cl(3,0) primitives are exactly SO(3)-equivariant and learn synthetic 3D vector laws from few samples. We ask whether the geometric algebra structure itself contributes anything beyond exact equivariance. We compare against a minimal scalarization baseline: invariant dot products fed to a small MLP that outputs coefficients on the equivariant basis {v_i, v_i x v_j}, which is also exactly equivariant. On single-stage laws (rotation by axis-angle, cross product, central force), scalarization matches or beats the Cl(3,0) network at a fraction of the training cost, so the geometric algebra adds nothing there. On compositional targets whose computation graph nests group operations (apply R2 R1 to a point; map a local force through an orientation, then take a torque), the Cl(3,0) network beats scalarization by an order of magnitude in the low-data regime, reaching with 100 samples what the baseline needs 3000 for, and the gap survives strengthening the baseline with the triple-product invariant and 17x more parameters, external Vector Neurons and e3nn baselines, and a multiplicative coefficient network. Ablations show the required network depth tracks the rotation chain length, and scalarization falls below the constant predictor on chains of four rotations. The advantage is not composition per se: on a rotation-free nested cross product, which flattens into polynomial invariant coefficients, scalarization wins by 24x. No tested model, equivariant or not, extrapolates invariant magnitudes: on radius and separation shifts every model is worse than a constant predictor once errors are normalized. We conclude that geometric algebra layers are not a general shortcut for low-data 3D learning, but become useful precisely when the target composes group elements in depth.
• Abstract（参考訳）: クリフォード代数 Cl(3,0) プリミティブから構築されたコンパクトネットワークは、正確にSO(3)-同変であり、少数のサンプルから合成3Dベクトル法則を学ぶ。 幾何学的代数構造自体が、正確な等式を超えて何に貢献するかを問う。 最小のスカラー化ベースラインと比較する: 不変ドット積は小さな MLP に供給され、同変基底 {v_i, v_i x v_j} で係数を出力する。 単段法則(軸角、交叉積、中心力による回転)では、スカラー化は訓練コストのごく一部でCl(3,0) ネットワークに匹敵するので、幾何学代数は何も加えない。 計算グラフが群演算をネストする合成ターゲット(R2 R1 to a point; map a local force through a orientation, then take a Turk)において、Cl(3,0)ネットワークは、低データ状態における桁違いのスカラー化を破り、ベースラインに必要な3000のサンプルを100個まで到達し、そのギャップは、三重積不変量と17倍のパラメータでベースラインを強化し、外部ベクターニューロンとe3nnベースライン、乗算係数ネットワークである。 アブレーションは、必要なネットワーク深さが回転鎖の長さをトラックし、スカラー化は4つの回転鎖の定数予測器より下降することを示している。 回転のないネスト付き交叉積では、多項式不変係数に平坦化され、スカラー化が24倍に勝利する。 半径と分離シフトでは、全てのモデルが誤差が正規化されると、一定の予測器よりも悪い。 幾何学的代数層は低データ3次元学習の一般的なショートカットではなく、対象がグループ要素を深く構成するとき、正確に有用になる。

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