論文の概要: Group-Algebraic Tensors: Provably-optimal Equivariant Learning and Physical Symmetry Discovery

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.20440v1
• Date: Tue, 19 May 2026 19:47:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-21 19:19:56.349773
• Title: Group-Algebraic Tensors: Provably-optimal Equivariant Learning and Physical Symmetry Discovery
• Title（参考訳）: 群代数的テンソル:確率的最適等変学習と物理対称性発見
• Authors: Paulina Hoyos, Shashanka Ubaru, Dongsung Huh, Vasileios Kalantzis, Kenneth L. Clarkson, Misha Kilmer, Haim Avron, Lior Horesh,
• Abstract要約: 任意の有限群 $G$ が代数的乗法則を定義するような、$star_G$ テンソル代数を導入する。 このフレームワークは、ニューラルネットワーク(ENN)を構造的に再設計することができない機能を提供している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.340037184664208
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce the $\star_G$ tensor algebra, in which any finite group $G$ defines the multiplication rule, making equivariance an intrinsic algebraic property rather than an architectural constraint. The framework rests on three machine-verified theoretical pillars: (i)~an Eckart-Young optimality guarantee for the $\star_G$-SVD: the first such result for symmetry-preserving tensor approximation, exact and polynomial-time; (ii)~a Kronecker factorization that composes multiple symmetries by replacing $F_G$ with $F_{G_1} \otimes F_{G_2}$ with no architectural redesign; and (iii)~a 600-line Lean~4 formalization of the $\star_G$ algebra. The framework provides capabilities that equivariant neural networks (ENNs) structurally cannot: a closed-form per-irreducible-representation decomposition of every prediction, and data-driven discovery of the symmetry group that best fits a dataset. As a non-trivial empirical demonstration, decomposing QM9 molecular geometry over the chiral octahedral subgroup of SO(3) recovers the Wigner--Eckart selection rules of angular momentum from data alone, with no quantum mechanical input: scalar properties are A$_1$-dominated, dipole components are T$_1$-dominated, the isotropic polarizability is uniquely insensitive to $l\!=\!1$ as the rank-2-trace decomposition $l\!=\!0 \oplus l\!=\!2$ requires, and the T$_1$/A$_1$ predictive-power ratio separates vector observables from scalar observables by a factor of five. On full QM9 (130{,}831 molecules), $\star_G$-SVD with ridge regression provides closed form predictions at $\sim50-90\times$ fewer parameters than parameter-matched MLPs. Algebraic equivariance thus complements architectural equivariance not as a faster-better-cheaper alternative but as a different mathematical affordance: provably-optimal symmetry-preserving compression, per-irrep interpretability, and data-driven physical discovery.
• Abstract（参考訳）: ここでは、任意の有限群 $G$ が乗法則を定義し、同値をアーキテクチャ上の制約ではなく本質的な代数的性質とする、$\star_G$ テンソル代数を導入する。 このフレームワークは、3つの機械で検証された理論的な柱の上に置かれている。 (i)~Eckart-Young の$\star_G$-SVD に対する最適性を保証する: 対称保存テンソル近似、完全および多項式時間に対する最初のそのような結果。 (ii)~F_G$をF_{G_1} \otimes F_{G_2}$に置き換えて複数の対称性を構成するクロネッカー分解。 (iii)~600行のリーン~4の$\star_G$代数の形式化。 このフレームワークは、構造的に不変ニューラルネットワーク(ENN)が不可能な機能を提供する。全ての予測のクローズドフォーム毎の非可逆表現分解と、データセットに最も適合する対称性群のデータ駆動発見である。 非自明な実証実験として、SO(3) のキラル八面体部分群上の QM9 分子幾何学を分解すると、量子力学的入力を持たないデータから角運動量のウィグナー-エッカート選択規則が回復する:スカラー特性は A$_1$-dominated, 双極子成分は T$_1$-dominated, 等方偏光性は$l\! =\! ランク2-トレース分解 $l\! =\! 0 \oplus l\! =\! 2$必要であり、T$_1$/A$_1$予測パワー比は、ベクトル可観測物とスカラー可観測物とを5倍に分離する。 完全な QM9 (130{,}831 分子)では、リッジレグレッション付き $\star_G$-SVD がパラメータマッチング MLP よりも少ない$\sim50-90\times$のクローズドフォーム予測を提供する。 したがって、代数的同値性は、より高速なベタチーパーの代替としてではなく、確率的に最適対称性を保存する圧縮、不規則の解釈可能性、データ駆動の物理的発見という数学的余裕としてアーキテクチャの同値性を補完する。

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