論文の概要: Optimization Geometrodynamics: A Framework for Dynamic Geometric Optimization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.06723v1
- Date: Tue, 07 Jul 2026 18:42:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-09 22:50:30.198735
- Title: Optimization Geometrodynamics: A Framework for Dynamic Geometric Optimization
- Title（参考訳）: Optimization Geometrodynamics: 動的幾何学最適化のためのフレームワーク
- Abstract要約: コンベックスに基づく最適化のためのベンチマーク言語であるOptimization Geometroを導入する。
最適化の難易度を低減するのに必要な最小の幾何コストである幾何複雑性を導入する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Most gradient-based optimization methods move parameters through a fixed background geometry, even when their internal states implicitly define changing notions of length, curvature, and preconditioning. We introduce optimization geometrodynamics, a benchmark language in which optimization is a coupled evolution of a parameter trajectory, a transported distribution of particles, and a controlled time-varying Riemannian metric. The language separates invariant obstructions from improvable geometric mismatch: positive metrics preserve critical points and Morse indices, and cannot remove global geodesic-convexity obstructions, but can alter conditioning, distributional transport, and flux away from exact critical points. We introduce dynamic geometric complexity, the minimum geometric cost required to reduce an optimization difficulty observable. In the oracle benchmark model of strongly convex quadratic objectives with full positive-definite metric control, this complexity is exactly the affine-invariant distance from the relative log-spectrum to a low-condition-number set. We also analyze Hessian-matching flows, spectral Onsager relaxation, discrete exponential projection updates, gauge-invariant observables, and fixed-time local Morse-saddle flux. The paper is theory-only: its claims are formal statements with proofs, intended to provide invariants and benchmark costs against which implementable adaptive optimizers can be compared once their admissible metric families, curvature estimates, and discretization errors are specified.
- Abstract（参考訳）: ほとんどの勾配に基づく最適化手法は、内部状態が暗黙的に長さ、曲率、プレコンディショニングといった概念を定義しても、パラメータを固定された背景幾何学を通して移動させる。
本稿では,パラメータの軌跡,粒子の輸送分布,時間変化の制御されたリーマン計量を併用したベンチマーク言語である最適化測地力学を紹介する。
正の測度は臨界点とモース指数を保存し、大域的な測地・凸性障害物を除去することはできないが、条件付け、分布輸送、正確な臨界点からのフラックスを変更できる。
我々は、最適化の難しさを観測できる最小の幾何学的コストである、動的幾何学的複雑性を導入する。
正定値距離制御を持つ強凸二次目標のオラクルベンチマークモデルでは、この複雑さは相対対数スペクトルから低条件数集合へのアフィン不変距離である。
また, ヘッセン整合流, スペクトルオンサガー緩和, 離散指数射影更新, ゲージ不変オブザーバブル, 固定時間局所モースサドルフラックスの解析を行った。
論文は理論のみであり、その主張は証明を伴う形式的ステートメントであり、許容距離列、曲率推定、離散化誤差が特定されると、実装可能な適応最適化器を比較できる不変量やベンチマークコストを提供することを目的としている。
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