論文の概要: Optimization Geometrodynamics: Variational Reduction and Interaction Curvature

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.06723v2
• Date: Sun, 12 Jul 2026 05:07:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-14 13:33:35.676646
• Title: Optimization Geometrodynamics: Variational Reduction and Interaction Curvature
• Title（参考訳）: 最適化測地力学:変動低減と相互作用曲線
• Abstract要約: 我々は、この隠れ行列式プッシュフォワードの変分理論として、測地力学を発展させる。 アフィン事前還元の場合、誘導的相互作用曲率(英語版)は負半有限作用素 $-G*H-1G$ である。 閉全測地線ファイバーを持つ大域的解析バンドルと、特異な解析的近接制御器部とを証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Adaptive optimizers carry hidden states that change how visible gradients become parameter motion. We develop optimization geometrodynamics as a variational theory of this hidden geometry. Infimal pushforward eliminates all hidden states realizing the same action and composes across optimizer hierarchies. Under smooth nondegeneracy, it yields hidden susceptibility and the Schur-complement curvature seen after relaxation. For affine pre-reduction perturbations, the induced interaction curvature is the negative-semidefinite operator $-G^*H^{-1}G$, whose mixed entries integrate to finite mechanism contrasts. Our main realization is the determinant-one affine-invariant SPD action map $P\mapsto PA$. We prove a global analytic bundle with closed totally geodesic fibers and a unique analytic nearest-controller section. A strongly convex fiber theorem and an explicit logarithmic action residual give a globally linearly convergent solver from every feasible initializer, together with nonasymptotic value, controller-distance, and residual bounds and observable posterior stopping certificates. A conditional inexact result propagates supplied rigorous residual-error and radius majorants. The dense spectral kernel is confined to an active subspace of dimension $r\le 2m$, yielding an explicit spectral-arithmetic operation bound and a strict dimensional reduction when $r<d$. For nested shape-normalized quadratic actions, canonical multi-secant projections satisfy an exact CAT(0) Pythagorean decrease and recover the determinant-one inverse Hessian shape at the sharp rank threshold $d-1$, provided the scalar gauge $c_H=(\det H)^{1/d}$ is known. These results turn the action bundle into an exact iterative computation with posterior certificates and a finite-identification theory.
• Abstract（参考訳）: アダプティブ・オプティマイザは、可視勾配がパラメータの動きにどのように変化するかを変える隠された状態を運ぶ。 この隠れ幾何学の変分理論として最適化測地力学を開発した。 不完全なプッシュフォワードは、同じアクションを実現するすべての隠された状態を取り除き、オプティマイザ階層にまたがって構成する。 滑らかな非退化の下では、隠れた感受性と緩和後に見られるシュール補体曲率が得られる。 アフィン事前還元摂動の場合、誘導的相互作用曲率(英語版)は負の半有限作用素 $-G^*H^{-1}G$ であり、混合成分は有限機構のコントラストと結合する。 我々の主な実現法は、行列式 1 個のアフィン不変な SPD アクションマップ $P\mapsto PA$ である。 閉全測地線ファイバーを持つ大域的解析バンドルと、特異な解析的近接制御器部とを証明した。 強い凸ファイバー定理と明示的な対数的作用残差は、漸近値、コントローラ距離、残留境界および観測可能な後続停止証明書とともに、すべての実現可能なイニシャライザから大域的に収束した解法を与える。 条件不一致の結果は、供給された厳密な残留誤差と半径メジャーラントを伝播させる。 密度スペクトル核は次元 $r\le 2m$ の活性部分空間に制限され、$r<d$ のとき、明示的なスペクトル-パラメータ演算境界と厳密な次元還元を与える。 スカラーゲージ $c_H=(\det H)^{1/d}$ が知られている場合、ネスト形状正規化二次作用に対して、正準多部分射影は正確なCAT(0) ピタゴラスの減少を満足し、鋭いランク閾値$d-1$で行列式1逆ヘッセン形状を復元する。 これらの結果は、アクションバンドルを、後続証明と有限同定理論による正確な反復計算に変換する。

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