論文の概要: Quantum error-correcting codes from aperiodic monotiles: the Hat and the Spectre
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.15326v1
- Date: Thu, 16 Jul 2026 13:48:23 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-20 17:56:52.672293
- Title: Quantum error-correcting codes from aperiodic monotiles: the Hat and the Spectre
- Title（参考訳）: 周期性単球の量子誤り訂正符号:ハットとスペクター
- Abstract要約: 我々はすべてのハットタイリングに対して強い局所的不明瞭性を証明し、すべての非特異なハットタイリングに対して無条件で証明する。
Penrose、Ammann-Beenker、Fibonacciのタイリングとは異なり、両単体は2つの局所非識別クラスを形成する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Li and Boyle showed that the Penrose tiling defines a quantum error-correcting code: superpositions of tilings over isometry orbits protect quantum information against erasure of any bounded region. We extend the construction to the aperiodic monotiles discovered by Smith, Myers, Kaplan and Goodman-Strauss. For the Hat, we prove strong local indistinguishability for all Hat tilings, and we prove local recoverability unconditionally for all nonsingular Hat tilings via the torus parametrization of the underlying cut-and-project scheme. The remaining singular case reduces to one sharply posed geometric question -- can a region that is a union of hats be retiled a second way? -- which we verify computationally has no counterexample up to a substantial scale: a certified $2490$-tile patch admits precisely one tiling by hats, so all $2^{2490}$ of its tile-subregions retile uniquely. Unlike the Penrose, Ammann-Beenker and Fibonacci tilings, both monotiles form two local-indistinguishability classes, so their code spaces split into two erasure-correcting sectors carrying a superselected classical label. Whether the label survives depends on which isometries are gauged: the Spectre's classes are exchanged by a $30^{\circ}$ rotation and merge once all proper isometries are gauged, whereas the Hat's are exchanged only by reflections. Under the physically natural gauge group $SE(2)$, the Hat code therefore stores one robust classical bit -- the handedness of its long-range order, readable in any bounded window with separation $Δ= |K|\sqrt{5}/3$ -- alongside its protected quantum sectors. It is the reflexible monotile, not the chiral one, that carries the chirality bit. We give the exact Perron-Frobenius data of both codes, including the per-class reflected-Hat frequencies $(3\mp\sqrt{5})/6$ and the Spectre orientation-class frequencies $(5\pm\sqrt{15})/10$.
- Abstract（参考訳）: ライとボイルは、ペンローズタイリングが量子誤り訂正符号を定義することを示した:等距離軌道上のタイリングの重ね合わせは、任意の境界領域の消去から量子情報を保護する。
我々はスミス、マイアーズ、カプラン、グッドマン・ストラウスによって発見された非周期的な単体に建設を拡大する。
Hatについては,すべてのHatタイリングに対して強い局所的不一致性を証明し,下層のカット・アンド・プロット方式のトーラスパラメトリゼーションを通じて,すべての非特異なHatタイリングに対して非条件で局所的回復性を証明する。
残りの特異なケースは、1つの鋭い幾何学的問題に還元されます -- 帽子の結合である領域を2番目の方法で補うことができますか? - 計算的に検証すると、相当な規模まで反例がないのです。
Penrose、Ammann-Beenker、Fibonacciのタイリングとは異なり、双方のモノリスは局所的に区別できない2つのクラスを形成している。
スペクターのクラスは$30^{\circ}$回転で交換され、すべての適切なイソメトリーがゲージされるとマージされるが、ハットのクラスはリフレクションによってのみ交換される。
物理的に自然なゲージ群$SE(2)$の下で、ハット符号は、保護された量子セクターとともに、その保護された量子セクターと共に、その長い範囲の順序のハンドネス($Δ= |K|\sqrt{5}/3$)を任意の有界ウィンドウで読み取ることができる1つの頑健な古典ビットを格納する。
反射性単体であり、キラル性ビットを持つキラルではない。
両符号の正確なPerron-Frobeniusデータには、クラス毎の反射Hat周波数$(3\mp\sqrt{5})/6$とSpectre配向クラス周波数$(5\pm\sqrt{15})/10$が含まれる。
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