論文の概要: Optimal Quantum Eigenvalue Transformation via Linear Combinations of Hermitian Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.25812v1
• Date: Tue, 28 Jul 2026 14:58:02 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-29 20:50:42.875209
• Title: Optimal Quantum Eigenvalue Transformation via Linear Combinations of Hermitian Matrices
• Title（参考訳）: エルミート行列の線形結合による最適量子固有値変換
• Abstract要約: 一般の非正規行列固有値変換を$g(A)$とする2つの線形エルミート行列(LCHM)の定式化を発見した。 Hermitian $X_= cosL+sinH$ に対して、Weyl LCHM の公式は $g(A)$ を $g(mathrmemathrmi (X_pmmathrmi(I-X_2)1/2)$ に統合することによって表現する。 行列パワー $g( について
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.089626331487613
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We discover two complementary linear-combination-of-Hermitian-matrices (LCHM) formulations to achieve a general non-normal matrix eigenvalue transformation $g(A)$. Firstly, for $A=L+\mathrm{i} H$ with Hermitian $L$ and $H$, the vanilla LCHM formula represents $g(A)$ as a kernel integral of $g(\mathrm{i}(H+kL))$, and it contains linear-combination-of-Hamiltonian-simulation (LCHS) [An, Liu, Lin, Phys. Rev. Lett. 2023] as the special case for matrix exponentials. Secondly, for the angular Hermitian $X_θ= \cosθL+\sinθH$, the Weyl LCHM formula expresses $g(A)$ via integrating $g(\mathrm{e}^{\mathrm{i}θ} (X_θ\pm\mathrm{i}(I-X_θ^2)^{1/2}))$. For the matrix power $g(A)=A^m$, the Fourier projection of Weyl LCHM gives \[ A^m=\frac{2}π\int_0^π\text{e}^{\text{i} mθ}T_m(X_θ) \text{d}θ= \frac{2}{N}\sum_{j=0}^{N-1} \text{e}^{\text{i} mθ_j}T_m(X_{θ_j}),\quadθ_j=\frac{πj}{N},\quad \text{for every } N>m \] with Chebyshev polynomial of Hermitian $T_m(X_θ)$ and $N$ samples. The discrete formula is exact, introduces no truncation and angular quadrature error, and offers $\mathcal{O}(1)$ post-selection weights. LCHM formulas lead to new quantum eigenvalue transformation (QET) algorithms. For a degree-$d$ polynomial $p_d(A)$ on $|ψ\rangle$, our QET algorithm can achieve optimal $Θ(d)$ circuit depth and optimal $\mathcal{O}(||p_d||_{\infty}/||p_d(A)|ψ\rangle||)$ post-selection repetitions. LCHM-based QETs unify various quantum linear algebraic problems with near-optimal $\mathcal{\widetilde O}(d\log(d/ε))$ Clifford$+T$ gates, including driven ODEs (reduced to standard LCHS), iterative methods, resolvents, $\log(I+A)$, $(λI+A)^ν$, Sign and ReLU transforms, and Faber approximation on noncircular domains.
• Abstract（参考訳）: 一般の非正規行列固有値変換を$g(A)$とする2つの相補的線形エルミート行列(LCHM)の定式化を発見した。 まず、$A=L+\mathrm{i} H$ with Hermitian $L$ および $H$ の場合、バニラ LCHM の公式は$g(A)$ の核積分として $g(\mathrm{i}(H+kL))$ と表現し、行列指数の特別な場合として線型結合-ハミルトニアン-シミュレーション (LCHS) [An, Liu, Lin, Phys. Rev. 2023] を含む。 第二に、角のエルミート $X_θ= \cosθL+\sinθH$ に対して、ワイル LCHM の公式は $g(\mathrm{e}^{\mathrm{i}θ} (X_θ\pm\mathrm{i}(I-X_θ^2)^{1/2})$ を積分することで$g(A)$ を表現している。 行列パワー $g(A)=A^m$ に対して、ワイル LCHM のフーリエ射影は、[A^m=\frac{2}π\int_0^π\text{e}^{\text{e} mθ}T_m(X_θ) \text{d}θ= \frac{2}{N}\sum_{j=0}^{N-1} \text{e}^{\text{i} mθ_j}T_m(X_{θ_j}),\quadθ_j=\frac{πj}{N},\quad \text{for every } N>m \] を与える。 離散式は正確であり、トラルニケートや角二次誤差を導入せず、$\mathcal{O}(1)$後重みを提供する。 LCHM式は、新しい量子固有値変換(QET)アルゴリズムをもたらす。 次数-$d$多項式 $p_d(A)$ on $|\rangle$ に対して、我々のQETアルゴリズムは、最適な$(d)$回路深さと最適な$\mathcal{O}(|p_d||_{\infty}/|p_d(A)|\rangle|||)$ポスト選択繰り返しを達成することができる。 LCHM ベースの QET は、ほぼ最適の $\mathcal{\widetilde O}(d\log(d/ε))$ Clifford$+T$ ゲートで様々な量子線型代数問題を統一し、駆動されたODE(標準LCHSに還元される)、イテレーティブメソッド、分解剤、$\log(I+A)$, $(λI+A)^ν$, Sign and ReLU transforms, Faber approximation on noncircular domain を含む。

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