論文の概要: Faster quantum linear system solver beyond the condition number

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.07691v1
• Date: Wed, 08 Jul 2026 17:49:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-09 22:50:30.482809
• Title: Faster quantum linear system solver beyond the condition number
• Title（参考訳）: 条件数を超える高速な量子線形系解法
• Abstract要約: 線形系の正規化解 $|xrangle$ を生成する2つの量子アルゴリズムを、条件数$=lVert A-1rVert$ に依存しない複雑性を持つ精度 $Ax=| b rangle$ に提示する。 フィルタベースのソルバは非常にシンプルで、実行時プレファクタが適しています。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 50.84794327094274
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
• Abstract: The spectral condition number is a widely adopted measure of worst-case cost for quantum linear system solvers. Yet it can significantly overestimate the actual runtime for a typical problem instance. We present two quantum algorithms that produce the normalized solution $|x\rangle$ of linear system $Ax=| b \rangle$ to accuracy $ε$ with complexity independent of the condition number $κ=\lVert A^{-1}\rVert$. We focus on the standard input model where $A$ is accessed through a block encoding and $| b \rangle$ is prepared by a unitary. But we also introduce an affine dilation model that encodes $A$ and $| b \rangle$ jointly, allowing further refinements of the query complexity. Our truncation-based solver makes an optimal number of queries to $| b \rangle$ and $\operatorname{\mathbf{O}}\left(κ_{\mathrm{eff}}\operatorname{polylog}\left(\frac{κ_{\mathrm{eff}}}ε\right)\right)$ queries to $A$. We prove a family of upper bounds on the effective condition number, including $κ_{\mathrm{eff}}\leq\frac{\lVert(A^\dagger A)^{-t/2}|x\rangle\rVert^{1/t}}{ε^{1/t}}$ for positive even integer $t$ and $κ_{\mathrm{eff}}\leq\frac{\lVert A^{-1\dagger}(A^\dagger A)^{-(t-1)/2}|x\rangle\rVert^{1/t}}{ε^{1/t}}$ for positive odd $t$, overcoming the $κ$-barrier. Our filtering-based solver is extremely simple with a favorable runtime prefactor. In particular, the solver has query complexity $6\frac{\lVert A^{-1\dagger}|x\rangle\rVert}ε\ln\left(\frac{1}ε\right)$ to leading order when the solution norm is known. We then present a similarly simple solution norm estimator with the same asymptotic cost up to logarithmic factors. Our quantum linear system solvers thus substantially improve a recent algorithm of Li, enabling faster quantum linear system solving beyond the condition number.
• Abstract（参考訳）: スペクトル条件数は、量子線形系解法における最悪のケースコストの広く採用されている尺度である。 しかし、典型的な問題インスタンスに対して実際のランタイムを著しく過大評価することができる。 Ax=| b \rangle$ to accuracy $ε$ with complexity without the condition number $κ=\lVert A^{-1}\rVert$。 我々は、ブロックエンコーディングを通じて$A$がアクセスされ、$| b \rangle$がユニタリによって準備される標準的な入力モデルに焦点を当てる。 しかし、A$ と $| b \rangle$ を共同で符号化するアフィン拡張モデルを導入し、クエリの複雑さをさらに改善する。 私たちのトランケーションベースのソルバは、$| b \rangle$と$\operatorname{\mathbf{O}}\left(κ_{\mathrm{eff}}\operatorname{polylog}\left(\frac{κ_{\mathrm{eff}}}ε\right)\right)$クエリを$A$に最適化する。 有効条件数上の上界の族を証明し、例えば $κ_{\mathrm{eff}}\leq\frac{\lVert(A^\dagger A)^{-t/2}|x\rangle\rVert^{1/t}}{ε^{1/t}}$ for positive even integer $t$ and $κ_{\mathrm{eff}}\leq\frac{\lVert A^{-1\dagger}(A^\dagger A)^{-(t-1)/2}|x\rangle\rVert^{1/t}}{ε^{1/t}}$ for positive $t$。 フィルタベースのソルバは非常にシンプルで、実行時プレファクタが適しています。 特に、解法は、解ノルムが知られているときの先行順序に対して、クエリ複雑性 6 {\displaystyle 6\frac{\lVert A^{-1\dagger}|x\rangle\rVert}ε\ln\left(\frac{1}ε\right)$ を持つ。 次に、対数係数まで同じ漸近コストの同様の簡単な解ノルム推定器を提案する。 これにより、我々の量子線形系解法はLiの最近のアルゴリズムを大幅に改善し、条件数を超えたより高速な量子線形系解法を可能にした。

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