Fugu-MT 論文翻訳(概要): A Direct Route to Markov Chain Convergence via Asymptotic Equivalence with the Target

論文の概要: A Direct Route to Markov Chain Convergence via Asymptotic Equivalence with the Target

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.03353v1
Date: Tue, 04 Aug 2026 09:03:20 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-08-05 15:30:23.106514
Title: A Direct Route to Markov Chain Convergence via Asymptotic Equivalence with the Target
Title（参考訳）: Asymptotic Equivalence による Markov Chain Convergence への直接経路
Authors: Patrick Forré,
Abstract要約: 我々は、マルコフ連鎖収束定理の自己完結した証明を、目標との同値性と呼ばれる基準によって与える。この基準の密度バージョンは、一般的な可測空間上で3つのケースで検証される。すべての設定において、バーコフのエルゴード定理は、大数の強い法則を得るために適用される。
参考スコア（独自算出の注目度）: 16.08983109077834
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: For a Markov kernel $T$ with an invariant probability measure $π$, we give a self-contained proof of the Markov chain convergence theorem via a criterion called asymptotic equivalence with the target. It assumes two parts about the Lebesgue decompositions of $T^{n}_{x}$ and $π$ for every starting point $x$: 1.) asymptotic absolute continuity: the singular mass sing$(T^{n}_{x}\midπ)$ tends to $0$; 2.) asymptotic domination of the target: the singular mass sing$(π\mid T^{n}_{x})$ tends to $0$, as $n \to \infty$. This criterion, on countably generated measurable spaces, is both sufficient and necessary for the Markov chain convergence. A density version of this criterion is verified on general measurable spaces in three cases: (i) $T$ has a positive transition density wrt $π$; (ii) $T$ consists of an absolutely continuous part with positive transition density together with an atom at the starting point, which covers the Metropolis--Hastings algorithm; (iii) the transition density is positive only after a finite number of steps that may depend on the starting point $x$. To demonstrate our general criterion, we investigate the Gibbs sampler with random scan and the parallel tempering algorithm. Furthermore, we show that in all mentioned settings Birkhoff's ergodic theorem applies, so as to obtain the strong law of large numbers. Throughout this paper, neither irreducibility, nor aperiodicity, nor recurrence, nor couplings, nor splitting constructions, nor small sets are used. In most results, the state space is a general measurable space, which carries no structure beyond a $σ$-algebra. Countable generation is only assumed where the density-free form of the criterion is stated. None of the theorems proved here is new; what is offered is a short route to a single, widely applicable Markov chain convergence criterion, which is both sufficient and necessary.
Abstract（参考訳）: 不変確率測度 $π$ を持つマルコフ核 $T$ に対して、ターゲットとの漸近同値と呼ばれる基準によってマルコフ連鎖収束定理の自己完結証明を与える。これは、すべての開始点$x$:に対して$T^{n}_{x}$と$π$のルベーグ分解に関する2つの部分を仮定する。 1.)漸近的な絶対連続性:特異質量は$(T^{n}_{x}\midπ)$が$0$になる傾向がある 2.) ターゲットの漸近的支配: 特異質量は$(π\mid T^{n}_{x})$ が 0$ になる傾向にあり、$n \to \infty$ である。可測な可測空間上のこの基準は、マルコフ連鎖収束に十分かつ必要である。この基準の密度版は、一般的な可測空間上で3つのケースで検証される。 (i)$T$ は正の遷移密度 wrt $π$ を持つ。 (ii)$T$は、正の遷移密度を持つ絶対連続部分と、開始点の原子から構成され、メトロポリス-ハスティングスアルゴリズムをカバーする。 (iii)遷移密度は、開始点$x$に依存する可能性のある有限個のステップの後にのみ正となる。一般的な基準を示すために,ランダムスキャンと並列テンパリングアルゴリズムを用いてギブスサンプルを探索する。さらに、上のすべての設定において、バーコフのエルゴード定理が適用され、大数の強法則が得られることを示す。本論文では, 既約性, 周期性, 繰り返し性, 結合性, 分割構造, 小集合を用いない。ほとんどの結果において、状態空間は一般可測空間であり、$σ$-代数以外の構造は持たない。数生成は、基準の密度のない形式が記述されている場合にのみ仮定される。ここで証明された定理はどれも新しいものではなく、1つの、広く適用可能なマルコフ連鎖収束基準への短い経路であり、これは十分かつ必要である。

論文の概要: A Direct Route to Markov Chain Convergence via Asymptotic Equivalence with the Target

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