論文の概要: Stable Density Ridges: Consistency and Convergence of Subspace Constrained Mean Shift

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.05112v1
• Date: Wed, 05 Aug 2026 17:45:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-06 14:48:44.065768
• Title: Stable Density Ridges: Consistency and Convergence of Subspace Constrained Mean Shift
• Title（参考訳）: 安定密度リッジ:部分空間制約平均シフトの一貫性と収束性
• Authors: Wanli Qiao,
• Abstract要約: Subspace Constrained Mean Shift (SCMS) は密度リッジを抽出するための一般的な非パラメトリック手法である。 静的尾根」は、アルゴリズムの基礎となるベクトル場の連続流れに沿った後続固有空間の回転を考慮しないことを示す。 本稿では,動的システムのレンズを通して定義された新しい幾何学構造である「安定尾根」を導入することで,パラダイムシフトを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2538209532048866
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Subspace Constrained Mean Shift (SCMS) algorithm is a popular nonparametric method for extracting density ridges, which serve as a low-dimensional representation of high-dimensional data. It is a widely held belief in the literature that SCMS trajectories converge to the classical density ridge, which we call the "static ridge", defined via the density gradient and the eigenvalues and eigenvectors of the density's Hessian. In this paper, we demonstrate that this assumption does not hold in general, as the static definition fails to account for the rotation of the trailing eigenspace along the continuous flow of the algorithm's underlying vector field. To resolve this, we propose a paradigm shift by introducing the "stable ridge", a novel geometric structure defined through the lens of dynamical systems and the Jacobian of the projected density gradient. We prove that this stable ridge is the true theoretical target of the SCMS algorithm. Building upon this foundation, we develop a generalized SCMS framework utilizing a constant step size, establishing its uniform R-linear convergence and topological surjectivity onto the stable ridge. We further derive the rates of convergence for estimating the stable ridge in terms of the Hausdorff distance. Finally, we expose that the original SCMS algorithm suffers from polynomial-time computational complexity, which is caused by implicitly coupling the step size to the smoothing bandwidth via the Mean Shift operator, and demonstrate how our generalized framework provides a statistically consistent and more efficient solution.
• Abstract（参考訳）: Subspace Constrained Mean Shift (SCMS)アルゴリズムは、高次元データの低次元表現として機能する密度リッジを抽出する一般的な非パラメトリック手法である。 SCMS軌道は古典的な密度リッジに収束し、密度勾配と密度のヘッセンの固有値と固有ベクトルによって定義される「静的リッジ」と呼ばれる。 本稿では,この仮定が一般には成立しないことを示す。これは,静的定義がアルゴリズムの基底ベクトル場の連続流れに沿った追従固有空間の回転を考慮できないためである。 これを解決するために、動的システムのレンズと射影密度勾配のヤコビアンによって定義される新しい幾何学構造である「安定尾根」を導入してパラダイムシフトを提案する。 この安定尾根がSCMSアルゴリズムの真の理論的ターゲットであることを証明した。 この基礎の上に、定常的なステップサイズを利用して一般化されたSCMSフレームワークを開発し、その一様R-線形収束とトポロジカルサージェクティビティを安定尾根に確立する。 さらに、ハウスドルフ距離の観点から安定尾根を推定するための収束率を導出する。 最後に、元のSCMSアルゴリズムは、ステップサイズを平均シフト演算子を介してスムーズな帯域幅に暗黙的に結合させることによって生じる多項式時間計算の複雑さに悩まされていることを明らかにし、我々の一般化されたフレームワークが統計的に一貫性があり、より効率的なソリューションを提供していることを実証する。

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