論文の概要: Understanding Differentiable Embeddings Through Differential and Integral Geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.06809v1
• Date: Fri, 07 Aug 2026 05:02:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-10 16:21:25.364949
• Title: Understanding Differentiable Embeddings Through Differential and Integral Geometry
• Title（参考訳）: 微分および積分幾何学による微分可能な埋め込みの理解
• Abstract要約: 既存の診断は部分的な回答しか提供しない。 これらはすべて、すべての微分可能な埋め込みによって誘導される単一の幾何学的対象に由来することを示す。 このフレームワークは埋め込みの2つの相補的な幾何学的ビューを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.589227975584887
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: How can an analyst decide whether a nonlinear dimensionality reduction embedding can be trusted? Existing diagnostics provide only partial answers: projection glyphs characterize local sensitivity, map-continuity scores measure local conditioning, and transport-based analyses reveal path-dependent inconsistencies. However, these methods appear unrelated and provide no common framework for understanding when they agree or not. We show that they are all derived from a single geometric object induced by every differentiable embedding, whether defined implicitly through optimization or explicitly by a learned mapping. This framework provides two complementary geometric views of an embedding. The differential view explains local behavior: its first-order term recovers projection glyphs, while its second-order curvature quantifies how far their linear approximation remains reliable. The integral view follows the same geometry along high dimensional paths and determines whether an embedding depends only on the current state or also on the path taken to reach it. We further show that map-continuity is a prerequisite for the other analyses. The framework is theoretically complete for diagnostics derived from the embedding geometry, and we prove the integral view irreducible: no amount of local measurement at any number of points, to any order of derivative, reproduces what it detects. Classical rank-based metrics form a complementary class based on finite-scale neighborhood relationships. Experiments on synthetic and real datasets validate theoretical predictions, demonstrate accurate curvature-based trust estimates on single-cell embeddings, and show that the integral analysis distinguishes single-valued embeddings from path-dependent optimization-based embeddings in ways that existing pointwise diagnostics cannot.
• Abstract（参考訳）: 非線形次元還元埋め込みが信頼できるかどうかをアナリストはどうやって判断できるのか? ジェクショングリフは局所感度を特徴づけ、マップ連続スコアは局所条件を測り、トランスポートベースの分析は経路依存の不整合を明らかにする。 しかし、これらの手法は無関係に見え、同意するか否かを理解するための共通の枠組みを提供しない。 これらはすべて、最適化によって暗黙的に定義されるか、学習された写像によって明示的に定義されるかにかかわらず、すべての微分可能な埋め込みによって誘導される単一の幾何学的対象に由来することを示す。 このフレームワークは埋め込みの2つの相補的な幾何学的ビューを提供する。 1階の項は射影のグリフを回復し、2階の曲率はその線形近似がどれだけ信頼できるかを定量化する。 積分ビューは、高次元の経路に沿って同じ幾何学に従い、埋め込みが現在の状態にのみ依存するか、それに到達するための経路にも依存するかを決定する。 さらに、地図連続性が他の分析の前提条件であることを示す。 このフレームワークは、埋め込み幾何から派生した診断に対して理論的に完全であり、任意の点における局所的な測定の量は、任意の導関数の順序に対して、それが検出したものを再現することができないという、積分的な見解を証明できる。 古典的な階数に基づくメトリクスは、有限スケールの近傍関係に基づく相補的なクラスを形成する。 合成および実データセットの実験は、理論的予測を検証し、単細胞埋め込みにおける正確な曲率ベースの信頼推定を実証し、積分解析が既存のポイントワイド診断では不可能な方法で、経路依存最適化に基づく埋め込みと単値埋め込みを区別することを示した。

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