論文の概要: Quantum Bicycle LDPC Codes with High $kd^2/n$ from Divisor-Driven Search
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.09115v1
- Date: Mon, 10 Aug 2026 04:45:08 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-11 19:16:37.082175
- Title: Quantum Bicycle LDPC Codes with High $kd^2/n$ from Divisor-Driven Search
- Title（参考訳）: ディバイザ駆動探索による高kd^2/n$の量子自転車LDPC符号
- Abstract要約: 自転車量子低密度パリティチェック(LDPC)符号には、最もよく知られた小さな量子符号が含まれている。
F[x]/(xl)$:自己直交性は自動的であることを示す。
このフレームワークに基づくコンピュータ検索は、短い符号を復元する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.344730946122235
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Bicycle (two-block circulant) quantum low-density parity-check (LDPC) codes include some of the best known small quantum codes, yet their design has relied on group-algebra formulations in which the dimension and distance are accessible only through matrix computation. We show that in the cyclic case the construction collapses into the polynomial ring $\F_2[x]/(x^{l}-1)$: self-orthogonality is automatic, the quantum dimension is read off from a polynomial gcd, and the minimum distance is certified exactly through the Calderbank correspondence to additive codes over $\F_4$, turning code search into an algebraically pre-filtered enumeration that reaches parameter regimes poorly covered by existing tables. A computer search based on this framework recovers the short codes $[[42,12,4]]_2$ and $[[62,12,4]]_2$ and produces a family of codes with competitive figure of merit $kd^2/n$, including $[[66,20,7]]_2$ with $kd^2/n=14.85$, above the bivariate bicycle code $[[144,12,12]]_2$ ($kd^2/n=12$) at less than half the block length, together with $[[46,2,8]]_2$, $[[66,2,9]]_2$, $[[66,4,8]]_2$, $[[66,6,8]]_2$ and, at $n=90$, $[[90,16,6]]_2$, $[[90,18,6]]_2$, $[[90,20,6]]_2$. An exhaustive census at $n=48$ delineates the boundary of this picture: we exhibit a $[[48,10,6]]_2$ code from a minimal $48$-element group (the Aydin--Tamo--Barg realization uses $72$ elements), and prove that distance $5$ forces a stabilizer-rank loss, which excludes $[[48,10,5]]_2$ from the weight-$8$ symmetric coset family. The framework thus opens a systematic route to bicycle-type quantum LDPC codes beyond the reach of group-theoretic searches, and identifies exactly where genuinely coset-theoretic phenomena begin.
- Abstract（参考訳）: 自転車 (2ブロック循環式) 量子低密度パリティチェック (LDPC) 符号は、よく知られた小さな量子符号のいくつかを含むが、それらの設計は、次元と距離が行列計算によってのみアクセス可能なグループ代数の定式化に依存している。
巡回の場合、構成が多項式環 $\F_2[x]/(x^{l}-1)$: 自己直交性は自動であり、量子次元は多項式 gcd から読み取られ、最小距離はカルダーバンク対応により$\F_4$ 上の加法符号に正確に認証され、符号探索は既存のテーブルでカバーされていないパラメータ規則に到達する代数的事前フィルタ付き列挙法へと変換される。
このフレームワークに基づくコンピュータ検索は、ショートコード$[42,12,4]]_2$と$[62,12,4]]_2$を復元し、[[66,20,7]]_2$と$kd^2/n=14.85$を含む競争力のあるコード群を生成する。
Aydin-Tamo-Barg realization using 72$ element)という最小の480$-elementグループ(Aydin-Tamo-Barg realization using 72$ element)から$[48,10,6]_2$のコードを表示し、その距離5$が8$-symmetric coset familyから$[48,10,5]の[[48,10,5]を除外していることを証明します。
このフレームワークは、グループ理論探索の範囲を超えて、自転車型量子LDPCコードへの体系的な経路を開き、真のコセット理論現象がどこから始まるのかを正確に識別する。
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