論文の概要: Quantum Change Interval: Exact Asymptotics for Minimum Error Localization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.24543v2
• Date: Thu, 03 Sep 2026 03:58:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-04 13:51:58.025343
• Title: Quantum Change Interval: Exact Asymptotics for Minimum Error Localization
• Title（参考訳）: 量子変化のインターバル:最小誤差定位のための厳密な漸近
• Abstract要約: 我々は、あるソースが1つの間隔で$lvertrangle$と$lvert0rangle$を出力する復帰量子変化間隔について研究する。 Toeplitz 比較と Flner 変換を用いて行列を解析し,励起数と間隔包による正確な分解を行った。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.906035369693457
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study a returning quantum change interval in which a source emits $\lvertψ\rangle$ over one interval and $\lvert0\rangle$ elsewhere. A collective measurement on the full sequence identifies both endpoints with minimum error. We analyze the Gram matrix using Toeplitz comparison and Følner transfer, together with an exact decomposition by excitation number and interval hull. The resulting bounds establish asymptotic Bayes optimality of the square root measurement (SRM). Let $c=\lvert\langle0\vertψ\rangle\rvert$ and $p_1(x)=4(1-x^2)K^2(x^2)/π^2$, where $K$ is the complete elliptic integral of the first kind. For a known interval length $i$, the SRM success probability and the Bayes optimum converge to the same Toeplitz symbol integral as the number $N$ of translations grows. For fixed $i$ and $0<c<1$, their gap is $P_{\mathrm{opt}}(G_{N,i})-P_{\mathrm{SRM}}(G_{N,i})=O_{i,c}(N^{-1/2})$. If $i$ and $N$ both diverge, their common limit is $p_1(c^2)$, with no constraint on their relative growth. For unknown length, the uniform prior over all $M_n=n(n+1)/2$ nonempty intervals gives the common limit $p_1(c)^2$ at fixed overlap. For a varying overlap $c_n$, set $τ_n=n(1-c_n)(\log n)^2$. Uniformly for $0\leqτ_n\leq T$, we obtain $M_nP_X=(1+2\sqrt{τ_n}/π+\sqrt{2}τ_n/π^2)^2+O_T(\log\log n/\log n)$, where $X\in\{\mathrm{tr},\mathrm{SRM},\mathrm{opt}\}$. More generally, if $c_n$ approaches one from below and $n p_1(c_n)\to\infty$, the same three quantities satisfy $P_X\sim p_1(c_n)^2$. These asymptotic laws also extend to joint detection and exact localization in the presence of a no change prior.
• Abstract（参考訳）: 我々は、あるソースが1つの間隔で$\lvert\rangle$と$\lvert0\rangle$を出力する復帰量子変化間隔について研究する。 フルシーケンス上の集合的な測定は、両方のエンドポイントを最小エラーで識別する。 Toeplitz 比較と Følner 変換を用いてグラム行列を解析し,励起数と間隔包による正確な分解を行った。 得られた境界は、平方根の測定(SRM)の漸近ベイズ最適性を確立する。 p_1(x)=4(1-x^2)K^2(x^2)/π^2$, ここで、$K$は第一種の完全楕円積分である。 既知の区間長$i$に対して、SRM成功確率とベイズ最適度は、翻訳数$N$が増加するにつれて、同じトエプリッツ記号積分に収束する。 固定$i$と$0<c<1$の場合、それらのギャップは$P_{\mathrm{opt}}(G_{N,i})-P_{\mathrm{SRM}}(G_{N,i})=O_{i,c}(N^{-1/2})$である。 i$と$N$の両方が分岐する場合、それらの共通極限は$p_1(c^2)$であり、相対的な成長に制約はない。 未知の長さについて、すべての$M_n=n(n+1)/2$非空区間に先立つ一様式は、固定オーバーラップ時の共通極限$p_1(c)^2$を与える。 異なるオーバーラップ$c_n$に対して、$τ_n=n(1-c_n)(\log n)^2$とする。 0\leqτ_n\leq T$ に対して、$M_nP_X=(1+2\sqrt{τ_n}/π+\sqrt{2}τ_n/π^2)^2+O_T(\log\log n/\log n)$ を得る。 より一般に、$c_n$ が下から近づき、$n p_1(c_n)\to\infty$ が同じ3つの量で$P_X\sim p_1(c_n)^2$ を満たす。 これらの漸近法則は、前もって変化がなかった場合、共同検出や正確な位置決めにも拡張される。

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