論文の概要: Clustering as Approximation by Constrained Projectors: Theory and Guarantees

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.29102v1
• Date: Sat, 29 Aug 2026 07:19:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-01 18:31:30.838472
• Title: Clustering as Approximation by Constrained Projectors: Theory and Guarantees
• Title（参考訳）: 制約プロジェクタによる近似としてのクラスタリング:理論と保証
• Abstract要約: 本稿では,k-means,fuzzy c-means, kernel k-means, kernel FCM, スペクトルクラスタリングなど,クラスタリング手法の幅広いファミリを,いずれも低ランクプロジェクタとして表現可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.62669179647184
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: This paper develops a unified theoretical framework showing that a broad family of clustering methods, including k-means, fuzzy c-means, kernel k-means, kernel FCM, and spectral clustering, can all be expressed as structured low-rank projectors acting on a signal-derived matrix. By formulating each method as an instance of min over B in C of ||M - M P_B||_F^2, with different constraint sets C, we establish a common optimization template that clarifies the algebraic links among hard, fuzzy, kernel-induced, and orthonormal projections. Within this framework, we derive non-trivial theoretical results, including geodesic convexity properties on the projection manifold, perturbation bounds quantifying stability to matrix noise, and exact recovery guarantees under ideal block-model conditions. The analysis further explains when different clustering families collapse to the same optimal subspace and how deviations arise under small inter-cluster leakage. Overall, the work provides a coherent, theory-first foundation for understanding clustering through structured projectors.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,k-means,fuzzy c-means, kernel k-means, kernel FCM, スペクトルクラスタリングなどのクラスタリング手法を,信号由来行列に作用する構造的低ランクプロジェクタとして表現可能であることを示す統一的理論フレームワークを開発した。 それぞれのメソッドを ||M - M P_B|||_F^2 の C の C 上の min のインスタンスとして定式化することにより、ハード、ファジィ、カーネル誘起および正則射影の間の代数的リンクを明らかにする共通の最適化テンプレートを確立する。 この枠組み内では、射影多様体上の測地的凸性特性、摂動境界、行列雑音に対する安定性の定量化、理想的なブロックモデル条件下での正確な回復保証を含む非自明な理論結果が導出される。 この分析は、異なるクラスタリング族が同じ最適部分空間に崩壊した時期と、小さなクラスタ間リーク下での偏差がどのように発生したかをさらに説明している。 全体として、この研究は構造化プロジェクタを通してクラスタリングを理解するための一貫性のある理論第一の基盤を提供する。

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