Fugu-MT 論文翻訳(概要): Sierpiński--Knopp Wasserstein Distance for Persistence Diagrams and Applications to 2-Wasserstein Approximation

論文の概要: Sierpiński--Knopp Wasserstein Distance for Persistence Diagrams and Applications to 2-Wasserstein Approximation

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.01528v1
Date: Tue, 01 Sep 2026 16:57:04 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-09-02 16:31:36.883595
Title: Sierpiński--Knopp Wasserstein Distance for Persistence Diagrams and Applications to 2-Wasserstein Approximation
Title（参考訳）: 永続ダイアグラムに対するシエルピエスキー-クノップ・ワッサーシュタイン距離と2-ワッサーシュタイン近似への応用
Authors: Sebastien Tchitchek, Julien Tierny,
Abstract要約: 本稿では、永続図間の高速な計量であるSierpiski-Knopp(SK)ワッサーシュタイン距離を紹介する。符号化された点集合は、1次元の最適割り当てによって効率よく一致する。 227図からなる12の科学的収集実験は、(W) の最先端近似に対する (d_mathrmSK) の中央値の加速を示す(626時間) d_mathrmに基づくヒルベルト(k)平均とスペクトルクラスタリング
参考スコア（独自算出の注目度）: 8.00851090160476
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: This paper introduces the Sierpiński-Knopp (SK) Wasserstein distance, a fast metric between persistence diagrams. The SK-Wasserstein distance, denoted $d_{\mathrm{SK}}$, maps diagram points and their diagonal projections to the unit interval via the Sierpiński-Knopp space-filling curve on the upper diagonal triangle. The encoded point sets are then efficiently matched via one-dimensional optimal assignment, in $O(N\log N)$ steps, yielding an explicit diagonal-aware point assignment between the two input persistence diagrams. We show that the SK-Wasserstein distance controls the classical $2$-Wasserstein distance between diagrams, admits an explicit isometric embedding into a Hilbert space, and induces a positive-definite Gaussian kernel, making the resulting geometry directly compatible with Euclidean and kernel-based learning methods. A tighter surrogate dissimilarity, noted $W_Γ$, is also introduced based on the point assignments along the curve. Experiments on 12 scientific collections comprising 227 diagrams show median per-collection speedup of $d_{\mathrm{SK}}$ over state-of-the-art approximations of $W_2$ is $626\times$, while the aggregate speedup over the full benchmark is $2100\times$. Average-linkage partitions obtained from $d_{\mathrm{SK}}$ and $W_Γ$ each exactly match the corresponding $W_2$ partition on 8 of the 12 collections. Hilbert $k$-means and Gaussian spectral clustering, both based on $d_{\mathrm{SK}}$, achieve mean adjusted Rand indices (ARI) of $0.756$ and $0.800$, respectively, with respect to the benchmark reference partitions, compared to $0.750$ obtained by average linkage on $W_2$. The Gaussian $d_{\mathrm{SK}}$ kernel supports other kernel-based analysis tasks, as illustrated by its use for contiguous segmentation of ordered diagram collections in our experiments.
Abstract（参考訳）: 本稿では、永続ダイアグラム間の高速な計量であるSKワッサーシュタイン距離を紹介する。 SK-ワッサーシュタイン距離は$d_{\mathrm{SK}}$と表され、上対角三角形上のシエルピエスキー-ノック空間充填曲線を通して、図形点とその対角射影を単位区間に写す。符号化された点集合は 1 次元の最適代入(O(N\log N)\) ステップで効率よく一致し、2 つの入力永続化ダイアグラムの間の明示的な対角線対応の点割当が得られる。我々は、SK-ワッサーシュタイン距離がダイアグラム間の古典的 $2$-ワッサーシュタイン距離を制御し、ヒルベルト空間への明示的な等距離埋め込みを認め、正定値ガウス核を誘導し、結果として得られる幾何がユークリッドおよびカーネルベースの学習手法と直接互換性を持つことを示す。また、曲線に沿った点の割り当てに基づいて、より厳密なシュロゲートの相似性(英語版)(英語版)(英語版)がもたらされる。 227の図からなる12の科学的コレクションの実験では、(W_2) の最先端の近似に対して $d_{\mathrm{SK}}$ の集合ごとの平均的な高速化は $626\times$ であり、全ベンチマークでの集計速度は $2100\times$ である。 $d_{\mathrm{SK}}$ と $W_n$ から得られる平均リンク分割は、12個のコレクションの8つの対応する $W_2$ パーティションと正確に一致する。 Hilbert $k$-means と Gaussian のスペクトルクラスタリングは、それぞれ $d_{\mathrm{SK}}$ に基づいて、ベンチマーク基準分割に関して、それぞれ $0.756$ と $0.800$ の平均調整されたランド指数(ARI)を得る。 Gaussian $d_{\mathrm{SK}}$ カーネルは、他のカーネルベースの解析タスクをサポートしており、実験で順序付きダイアグラムコレクションの連続的なセグメンテーションに使われている。

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