Fugu-MT 論文翻訳(概要): A solution to the Erdős Problem #1040

論文の概要: A solution to the Erdős Problem #1040

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.06050v1
Date: Sat, 05 Sep 2026 12:11:52 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-09-10 19:44:08.184824
Title: A solution to the Erdős Problem #1040
Title（参考訳）: エルデシュ問題#1040の解法
Abstract要約: 任意の閉無限集合に対して$vartheta(K)$が$FsubsetmathbbC$transfinite diameter at least oneであることを証明する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: For a compact set $K\subset\mathbb{C}$, let $\vartheta(K)$ be the infimum of the planar areas of the unit lemniscates of all monic polynomials with zeros in $K$, allowing arbitrary degree and repeated zeros. We prove that $\vartheta(K)=0$ whenever $\operatorname{cap}(K)=1$, with no regularity assumption on $K$. The proof uses a centered harmonic polynomial that is positive on all but a set of arbitrarily small area in the polynomial hull of $K$. A Fourier average of exterior harmonic measures realizes this polynomial as the logarithmic potential of a signed measure having bounded density with respect to the equilibrium measure. A positive perturbation and an $L^1$ approximation by empirical measures then produce the required polynomials. This extends the smooth-boundary result of Krishnapur, Lundberg, and Ramachandran to arbitrary compact sets of capacity one. Together with the capacity-greater-than-one theorem of Ghosh and Ramachandran and an elementary argument for unbounded sets, it follows that $\vartheta(F)=0$ for every closed infinite set $F\subset\mathbb{C}$ of transfinite diameter at least one, answering the vanishing question in Erdős Problem 1040.
Abstract（参考訳）: コンパクト集合 $K\subset\mathbb{C}$ に対して、$\vartheta(K)$ をすべてのモニック多項式の単位補題の平面領域の無限大とし、任意の次数と繰り返し零を許容する。ここでは、$\vartheta(K)=0$ whenever $\operatorname{cap}(K)=1$, with no regularity assumption on $K$とする。この証明は、K$の多項式包の任意の小さな領域の集合を除いて正となる中心調和多項式を用いる。外調和測度のフーリエ平均は、平衡測度に関して有界密度を持つ符号付き測度の対数ポテンシャルとしてこの多項式を実現する。実証測度による正の摂動と$L^1$近似は、必要な多項式を生成する。これにより、クリシュナプール、ルンドベルク、ラマハダンランの滑らかな有界な結果が任意のコンパクトな容量 1 に拡張される。 Ghosh と Ramachandran のキャパシティ・グランド・ザ・ワンの定理、および非有界集合に対する基本論証と合わせて、任意の閉無限集合に対して $\vartheta(F)=0$ は、アーデシュ問題 1040 において消滅する問題に答える、少なくとも1つの超有限径の $F\subset\mathbb{C}$ である。

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