論文の概要: Dimension-free discretizations of the uniform norm by small product sets

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.07926v6
• Date: Mon, 16 Dec 2024 15:19:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-17 13:48:45.119423
• Title: Dimension-free discretizations of the uniform norm by small product sets
• Title（参考訳）: 小積集合による一様ノルムの次元自由離散化
• Authors: Lars Becker, Ohad Klein, Joseph Slote, Alexander Volberg, Haonan Zhang,
• Abstract要約: ベルンシュタインの古典的不等式は、単位円上の最高ノルムの$f$と、その最高ノルムの$K$-階根のサンプリング集合上の最高ノルムと比較する。 次元自由離散化は、濃度が$deg(f)$とは独立なサンプリング集合で可能であり、代わりに$f$の最大個人次数によって支配されることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 45.85600902330814
• License:
• Abstract: Let $f$ be an analytic polynomial of degree at most $K-1$. A classical inequality of Bernstein compares the supremum norm of $f$ over the unit circle to its supremum norm over the sampling set of the $K$-th roots of unity. Many extensions of this inequality exist, often understood under the umbrella of Marcinkiewicz-Zygmund-type inequalities for $L^p,1\le p\leq \infty$ norms. We study dimension-free extensions of these discretization inequalities in the high-dimension regime, where existing results construct sampling sets with cardinality growing with the total degree of the polynomial. In this work we show that dimension-free discretizations are possible with sampling sets whose cardinality is independent of $\deg(f)$ and is instead governed by the maximum individual degree of $f$; i.e., the largest degree of $f$ when viewed as a univariate polynomial in any coordinate. For example, we find that for $n$-variate analytic polynomials $f$ of degree at most $d$ and individual degree at most $K-1$, $\|f\|_{L^\infty(\mathbf{D}^n)}\leq C(X)^d\|f\|_{L^\infty(X^n)}$ for any fixed $X$ in the unit disc $\mathbf{D}$ with $|X|=K$. The dependence on $d$ in the constant is tight for such small sampling sets, which arise naturally for example when studying polynomials of bounded degree coming from functions on products of cyclic groups. As an application we obtain a proof of the cyclic group Bohnenblust-Hille inequality with an explicit constant $O(\log K)^{2d}$.
• Abstract（参考訳）: f$ を次数解析多項式として、最大$K-1$とする。 ベルンシュタインの古典的不等式は、単位円上の最高ノルムの$f$と、その最高ノルムの$K$-階根のサンプリング集合上の最高ノルムと比較する。 この不等式の多くの拡張が存在し、しばしば、$L^p,1\le p\leq \infty$ノルムのマーチンキエヴィチ=ツィーグムント型不等式の下で理解される。 高次元状態におけるこれらの離散化不等式の次元自由拡大について検討し、既存の結果が多項式の総次数で増加する濃度を持つサンプリング集合を構成する。 この研究において、次元自由離散化は、濃度が$\deg(f)$とは独立であり、代わりに極大個別次数$f$; すなわち、任意の座標における単変数多項式と見なすときの最大の次数$f$によって支配されるサンプリング集合で可能であることを示す。 例えば、$n$-変数解析多項式に対して、最高$d$の次数$f$と最高$K-1$の次数$\|f\|_{L^\infty(\mathbf{D}^n)}\leq C(X)^d\|f\|_{L^\infty(X^n)} に対して、単位円板$\mathbf{D}$の任意の固定$X$に対して$|X|=K$である。 定数の$d$への依存はそのような小さなサンプリング集合に対して厳密であり、例えば巡回群の積上の関数から得られる有界次数多項式を研究するときに自然に生じる。 応用として、明示定数 $O(\log K)^{2d}$ の巡回群 Bohnenblust-Hille の不等式を証明する。

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