論文の概要: PDE-constrained inverse problems at the $\sqrt{n}$ rate via debiased physics-informed neural networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.12301v1
• Date: Fri, 11 Sep 2026 00:13:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-15 07:38:31.572167
• Title: PDE-constrained inverse problems at the $\sqrt{n}$ rate via debiased physics-informed neural networks
• Title（参考訳）: 偏微分物理学インフォームドニューラルネットワークによる$\sqrt{n}$レートでのPDE制約逆問題
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を用いてPDE解を近似したノイズ観測から,PDE制約逆問題における未知パラメータの推定問題について検討する。 本稿では,ニューラルネットワークに基づく非制約推定と影響関数に基づくバイアス補正を組み合わせた2段階のデバイアス推定手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.577811995776525
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study the problem of estimating unknown parameters in PDE-constrained inverse problems from noisy observations, where the PDE solution is approximated using Physics-Informed Neural Networks (PINNs). While PINNs have demonstrated remarkable empirical success, existing estimators often inherit the slow nonparametric convergence rate of the neural-network solution, leading to biased and statistically inefficient inference for the finite-dimensional parameters of interest. To address this, we propose a two-step debiased estimation procedure that combines neural-network-based nonparametric estimation with an influence-function-based bias correction. By eliminating the first-order sensitivity of the estimator to errors in the nuisance function, our procedure yields a $\sqrt{n}$-consistent and asymptotically normal estimator without requiring undersmoothing of the neural network component. We further extend this framework to Bayesian inference by replacing the original likelihood with a debiased quasi-likelihood and establish a Bernstein-von Mises theorem showing that the resulting posterior contracts at the $\sqrt{n}$-rate with an asymptotic covariance matching that of the frequentist estimator. As a by-product of our analysis, we establish near-minimax optimal convergence rates for estimating a nonparametric regression function and its derivatives in Sobolev spaces using neural networks. Extensive numerical experiments corroborate our theoretical findings and demonstrate the necessity of the proposed debiasing procedure for valid statistical inference in PDE-constrained inverse problems.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,PDE-Constrained inverse problem における未知パラメータ推定問題について,PDE 解を物理インフォームドニューラルネットワーク (PINN) を用いて近似したノイズ観測から検討した。 PINNは顕著な経験的成功を示しているが、既存の推定器は、ニューラルネットワークの解の遅い非パラメトリック収束率を継承し、有限次元のパラメーターに対する偏りと統計的に非効率な推論をもたらす。 そこで本稿では,ニューラルネットワークに基づく非パラメトリック推定と影響関数に基づくバイアス補正を組み合わせた2段階のデバイアス推定手法を提案する。 ニュアンス関数の誤差に対する推定器の1次感度を除去することにより、ニューラルネットワーク成分のアンダースムーシングを必要とせずに、$\sqrt{n}$-consistentと漸近的に正常な推定器が得られる。 我々は、この枠組みをさらにベイズ予想に拡張し、元の確率を偏った準同型に置き換え、ベルンシュタイン・ヴォン・ミセスの定理を定め、その結果、$\sqrt{n}$-rate における後続の契約が、頻繁な推定子のものと一致する漸近的共分散を持つことを示す。 解析の副産物として,ニューラルネットワークを用いたソボレフ空間における非パラメトリック回帰関数とその導関数を推定するために,近似最小収束率を確立する。 PDE制約逆問題における統計的推測のための提案手法の必要性を実証し, 理論的知見を裏付ける大規模な数値実験を行った。

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