論文の概要: Edge-addition monotonicity of positive p-energy fails for every p >= 1

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.13476v1
• Date: Fri, 11 Sep 2026 19:47:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-16 07:15:05.332437
• Title: Edge-addition monotonicity of positive p-energy fails for every p >= 1
• Title（参考訳）: p >= 1 の正の p-エネルギーの辺付加単調性は失敗する
• Abstract要約: グーは正二乗エネルギー s+ = E+ がスペクトル半径 rho(G + uv) >= rho(G) の見慣れたエッジ付加単調性を引き継ぐべきであると推測した。 Tang, Liu, and Wang はその後、正の p-エネルギーを導入し、すべての 1 = p 3 に対して非単調性(non monotonicity)を証明した。 この予想された高指数拡大を完全に否定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: At a 2021 AIM workshop, Guo conjectured that the positive square energy s+ = E+_2 should inherit the familiar edge-addition monotonicity of the spectral radius, rho(G + uv) >= rho(G). That conjecture was subsequently shown to fail at p = 2. Tang, Liu, and Wang then introduced positive p-energy, proved nonmonotonicity for every 1 <= p < 3, and in version 3 of their preprint (26 March 2025) explicitly conjectured that monotonicity should hold for p >= 3. We disprove this conjectured high-exponent extension completely: for every real p > 2 there are infinitely many connected graphs G and nonedges uv such that E+_p(G + uv) < E+_p(G). Together with the Tang-Liu-Wang counterexamples below 3, this shows that no exponent p >= 1 restores the spectral-radius-style monotonicity: positive p-energy can decrease under the addition of an edge for every real p >= 1. The construction is a chain of clique blocks joined by regular bipartite graphs. An equitable quotient converges to Q = I + cA(P_k). For noninteger p, a binomial-series sign argument for a fractional power of I - cA(P_k) gives the required negative endpoint entry. At integer exponents, choosing c across the first spectral threshold leaves exactly one negative eigenvalue, and path locality forces the positive spectral contribution to have negative sign. We also give a fully rational 38-vertex certificate at p = 4 and determine the complete failure interval of a fixed 17-vertex counterexample at p = 3.
• Abstract（参考訳）: 2021年のAIMワークショップで、グーは正の正方エネルギー s+ = E+_2 がスペクトル半径 rho(G + uv) >= rho(G) の見慣れたエッジ付加単調性を引き継ぐべきであると推測した。 この予想はその後 p = 2 で失敗することが示され、その後、唐、李、王は正の p-エネルギーを導入し、各 1 <= p < 3 に対して非単調性(英語版)を証明した。 すべての実 p > 2 に対して、E+_p(G + uv) < E+_p(G) となるような無限に多くの連結グラフ G と非辺 uv が存在する。 以下の唐・龍・王の反例とともに、指数 p >= 1 がスペクトル-半径スタイルの単調性を取り戻すことはないことを示す:正の p-エネルギーは実 p >= 1 の辺の加算の下で減少する。 構成は、通常の二部グラフで結合された斜めブロックの連鎖である。 等角商は Q = I + cA(P_k) に収束する。 非整数 p に対して、二項系列は I - cA(P_k) の分数乗の引数であり、必要な負の終点のエントリを与える。 整数指数において、第1のスペクトルしきい値におけるcの選択は、正確に1つの負の固有値を残し、経路の局所性は正のスペクトル寄与を負の符号を持つように強制する。 また、p = 4で完全有理な38頂点証明書を与え、p = 3で固定された17頂点反例の完全な失敗区間を決定する。

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