論文の概要: SDC-GON: Singular Decomposition and Consistency-Regularized Green's Operator Networks for Solving Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.23206v1
• Date: Sat, 19 Sep 2026 20:28:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-22 20:29:00.727709
• Title: SDC-GON: Singular Decomposition and Consistency-Regularized Green's Operator Networks for Solving Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: SDC-GON:部分微分方程式を解くための特異分解と一貫性規則化グリーン作用素ネットワーク
• Abstract要約: グリーン関数に基づく作用素近似は線型偏微分方程式を解くための効率的な経路を与える。 既存のグリーン関数学習法は2つの構造的課題に直面している。 本研究では,SDC-GON(Singular Decomposition and Consistency-Regularized Green's Operator Network)を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.238017937875627
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Green's function based operator approximation offers an efficient route for solving linear partial differential equations under varying boundary conditions and source terms. Once the Green's function is learned, solutions for new configurations are obtained through integration rather than by solving the differential equation again. Existing Green's function learning methods face two structural challenges. The first is the singular behavior of the Green's function near the source point, which places a difficult approximation burden on neural networks. The second is the absence of explicit consistency between the learned Green's function and its gradient, although both quantities enter the integral solution representation directly. This work proposes SDC-GON, a Singular Decomposition and Consistency-Regularized Green's Operator Network that addresses both challenges within a unified framework. The Green's function is decomposed into an analytically known singular component and a smooth correction learned by the network, so that the neural approximation targets only the regular part of the response kernel. A self-consistency loss enforces agreement between the gradient and the autodifferentiation gradient of the smooth correction. The method is evaluated on two dimensional Poisson, three dimensional heat conduction, heterogeneous reaction diffusion, and Stokes benchmarks, consistently outperforming the compared baselines across all cases. On the heterogeneous pipe benchmark, SDC-GON achieves a testing error of $3.70\times10^{-4}$ with a smaller network architecture, compared with $9.60\times10^{-4}$ for the same-width baseline and $4.63\times10^{-4}$ for a larger configuration, demonstrating that structural improvements are more effective than increasing model size.
• Abstract（参考訳）: グリーン関数に基づく作用素近似は、様々な境界条件と元条件の下で線形偏微分方程式を解くための効率的な経路を提供する。 グリーン関数が学習されると、微分方程式を再び解くのではなく、積分によって新しい構成の解が得られる。 既存のグリーン関数学習法は2つの構造的課題に直面している。 1つ目は、グリーン関数の起点付近での特異な振る舞いであり、ニューラルネットワークに難しい近似負荷を与える。 2つ目は、学習したグリーン関数とその勾配の間の明示的な一貫性がないことである。 この研究はSDC-GON(Singular Decomposition and Consistency-Regularized Green's Operator Network)を提案する。 グリーン関数は、解析的に知られた特異成分と、ネットワークによって学習されたスムーズな補正に分解されるため、神経近似は応答カーネルの正規部分のみを対象としている。 自己整合性損失は、滑らかな補正の勾配と自己微分勾配との一致を強制する。 この手法は2次元ポアソン, 三次元熱伝導, 不均一反応拡散, ストークスベンチマークで評価され, 全ケースで比較ベースラインを一貫して上回っている。 異種パイプのベンチマークでは、SDC-GONはネットワークアーキテクチャがより小さい$$3.70\times10^{-4}、同じ幅のベースラインが$9.60\times10^{-4}、より大きな構成が$4.63\times10^{-4}とテストエラーを達成し、構造的改善がモデルサイズの増加よりも効果的であることを示した。

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