論文の概要: Learning Domain-Independent Green's Function For Elliptic Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.17172v1
• Date: Tue, 30 Jan 2024 17:00:22 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-31 14:06:07.555190
• Title: Learning Domain-Independent Green's Function For Elliptic Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 楕円偏微分方程式に対する領域独立グリーン関数の学習
• Authors: Pawan Negi, Maggie Cheng, Mahesh Krishnamurthy, Wenjun Ying, Shuwang Li
• Abstract要約: グリーン関数は偏微分方程式(PDE)を特徴づけ、その解を全領域の積分として写像する。 BIN-Gと呼ばれる領域に依存しないグリーン関数を学習するための境界積分ネットワークを提案する。 本稿では,変数係数を持つPDEに対するグリーン関数の高速な学習と精度評価を可能にする数値計算手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Green's function characterizes a partial differential equation (PDE) and maps its solution in the entire domain as integrals. Finding the analytical form of Green's function is a non-trivial exercise, especially for a PDE defined on a complex domain or a PDE with variable coefficients. In this paper, we propose a novel boundary integral network to learn the domain-independent Green's function, referred to as BIN-G. We evaluate the Green's function in the BIN-G using a radial basis function (RBF) kernel-based neural network. We train the BIN-G by minimizing the residual of the PDE and the mean squared errors of the solutions to the boundary integral equations for prescribed test functions. By leveraging the symmetry of the Green's function and controlling refinements of the RBF kernel near the singularity of the Green function, we demonstrate that our numerical scheme enables fast training and accurate evaluation of the Green's function for PDEs with variable coefficients. The learned Green's function is independent of the domain geometries, forcing terms, and boundary conditions in the boundary integral formulation. Numerical experiments verify the desired properties of the method and the expected accuracy for the two-dimensional Poisson and Helmholtz equations with variable coefficients.
• Abstract（参考訳）: グリーン関数は偏微分方程式(PDE)を特徴づけ、その解を全領域の積分として写像する。 グリーン関数の分析形式を見つけることは非自明な運動であり、特に複素領域上で定義された PDE や変数係数を持つ PDE に対してである。 本稿では,BIN-Gと呼ばれる領域に依存しないグリーン関数を学習するための境界積分ネットワークを提案する。 放射基底関数(RBF)カーネルベースニューラルネットワークを用いて,BIN-Gにおけるグリーン関数の評価を行った。 我々は、PDEの残差と、所定のテスト関数に対する境界積分方程式に対する解の平均2乗誤差を最小化して、BIN-Gを訓練する。 グリーン関数の対称性を活用し,グリーン関数の特異点に近いRBFカーネルの洗練を制御することにより,変数係数を持つPDEに対するグリーン関数の高速な訓練と正確な評価を可能にすることを示す。 学習されたグリーンの函数は、境界積分の定式化における境界条件と条件を強制する領域幾何学とは独立である。 数値実験により, 2次元ポアソン方程式とヘルムホルツ方程式の可変係数に対する所望の性質と期待精度が検証された。

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