論文の概要: Exact Quotients of Fresnel-Kummer Surfaces and Certified Biaxial Refraction

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.23249v1
• Date: Sat, 19 Sep 2026 23:21:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-22 20:29:00.736017
• Title: Exact Quotients of Fresnel-Kummer Surfaces and Certified Biaxial Refraction
• Title（参考訳）: フレネル・クンマー表面のエクササイズと認定二軸反射
• Abstract要約: 結晶の波面は、3つの主誘電率の符号付き平方根に分岐した明示的な種数2の曲線のヤコビアンのクマー面である。 物理的族は種数 2 の曲線の軌跡に、余分な進化を伴うザリスキー密度を持ち、その自己同型層は明示的である。 二軸結晶の場合、誘電率の2つの比は、回転と再スケーリングまでの波面の完全な不変量を形成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Fresnel wave surface governs the propagation of light in a transparent biaxial crystal. It is a special Kummer quartic, and we identify it exactly. Over the complex numbers the wave surface of a crystal is the Kummer surface of the Jacobian of an explicit genus-two curve branched at the signed square roots of the three principal permittivities. This Jacobian is isogenous, by an isogeny with kernel of order four, to a product of two elliptic curves. One elliptic curve carries the three permittivities, and the other carries the optic-axis angle. The physical family is Zariski dense in the locus of genus-two curves with an extra involution, and its automorphism strata are explicit. The identification instantiates a task-aware quotient, which identifies parameters that differ by a nuisance transformation and carries invariant coordinates and explicit strata. For biaxial crystals, two ratios of the permittivities form a complete invariant of the wave surface up to rotation and rescaling, and the four real nodes are given in closed form. At an interface the candidate transmitted waves are the roots of a quartic of exact degree four. Its real-root count, root order, and repeated-root events are decided by exact algebraic predicates, and along the generic single-node encounters of the paper its discriminant vanishes to second order. Floating-point solvers drop forward transmitted modes near the optic axes, and the certified solver does not. On exact equivalence classes, learned models on quotient coordinates are invariant and more accurate than models on raw tensors, while learned root-count predicates fail near the optic axes.
• Abstract（参考訳）: フレネル波面は透明二軸結晶内の光の伝播を制御している。 これは特別なクンマー準位であり、我々はそれを正確に特定する。 複素数上、結晶の波面は、三つの主極性(英語版)の符号付き平方根に分岐した明示的な種数2の曲線のヤコビアンのクマー面である。 このヤコビアン(Jacobian)は、2つの楕円曲線の積に対して、位数 4 の核を持つ同種である。 1つの楕円曲線は3つの誘電率を持ち、もう1つは光学軸角を持つ。 物理的族は種数 2 の曲線の軌跡に、余分な進化を伴うザリスキー密度を持ち、その自己同型層は明示的である。 識別はタスク対応商をインスタンス化し、ニュアンス変換によって異なるパラメータを識別し、不変座標と明示的な成層を運ぶ。 二軸結晶の場合、誘電率の2つの比は、回転と再スケーリングまでの波面の完全な不変量を形成し、4つの実ノードは閉じた形で与えられる。 インターフェースでは、送信される候補波は、正確な次数4のクォート波の根である。 その実根数、根次数、繰り返し根の事象は、正確な代数的述語によって決定され、紙の一般的な単一ノードの出会うと、その識別力は二階に消える。 浮動小数点ソルバは光軸付近で送信モードを前方に落とし、認証されたソルバはそうではない。 正確な同値類では、商座標の学習モデルは原テンソルのモデルよりも不変で正確であり、一方、学習された根数述語は光軸付近で失敗する。

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