論文の概要: Representing and Learning Functions Invariant Under Crystallographic Groups

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.05261v1
• Date: Thu, 8 Jun 2023 15:02:04 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-09 13:45:46.325640
• Title: Representing and Learning Functions Invariant Under Crystallographic Groups
• Title（参考訳）: 結晶群下で不変な関数の表現と学習
• Authors: Ryan P. Adams and Peter Orbanz
• Abstract要約: 結晶学群は、自然と科学で遭遇する結晶やその他の反復構造の対称性を記述している。 そのような群の下で(1)滑らかで(2)不変な函数の線型および非線形表現を導出する。 そのような基底は各結晶群に対して存在し、関連する$L$空間において正則であることを示し、純粋なシフト群の特別な場合として標準フーリエ基底を復元する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.6870237776672
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Crystallographic groups describe the symmetries of crystals and other repetitive structures encountered in nature and the sciences. These groups include the wallpaper and space groups. We derive linear and nonlinear representations of functions that are (1) smooth and (2) invariant under such a group. The linear representation generalizes the Fourier basis to crystallographically invariant basis functions. We show that such a basis exists for each crystallographic group, that it is orthonormal in the relevant $L_2$ space, and recover the standard Fourier basis as a special case for pure shift groups. The nonlinear representation embeds the orbit space of the group into a finite-dimensional Euclidean space. We show that such an embedding exists for every crystallographic group, and that it factors functions through a generalization of a manifold called an orbifold. We describe algorithms that, given a standardized description of the group, compute the Fourier basis and an embedding map. As examples, we construct crystallographically invariant neural networks, kernel machines, and Gaussian processes.
• Abstract（参考訳）: 結晶学群は、自然と科学で遭遇する結晶やその他の反復構造の対称性を記述する。 これらのグループには壁紙やスペースグループが含まれる。 このような群の下で(1)滑らかで(2)不変である関数の線型および非線形表現を導出する。 線型表現はフーリエ基底を結晶的不変基底関数に一般化する。 そのような基底が各結晶群に対して存在し、関連する$l_2$空間において正規直交であることを示し、純シフト群の特別な場合として標準フーリエ基底を回復する。 非線形表現は群の軌道空間を有限次元ユークリッド空間に埋め込む。 そのような埋め込みはすべての結晶群に存在し、その因子はオービフォールドと呼ばれる多様体の一般化を通じて機能することを示す。 我々は、その群の標準化された記述を与えられたアルゴリズムを記述し、フーリエ基底と埋め込み写像を計算する。 例えば、結晶学的に不変なニューラルネットワーク、カーネルマシン、ガウス過程を構築する。

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