論文の概要: Sample-Smooth Spaces: A Convenient Category for Differentiable Probabilistic Programming

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.26270v1
• Date: Fri, 14 Aug 2026 04:13:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-28 05:09:55.95029
• Title: Sample-Smooth Spaces: A Convenient Category for Differentiable Probabilistic Programming
• Title（参考訳）: Sample-Smooth Spaces: 微分確率的プログラミングのための便利なカテゴリ
• Abstract要約: 混合サイト上の標本平滑空間の圏 $mathbfSSS$ を紹介する。 テスト対象は、カルテシアン空間の積 $_n := mathbbRn times $ で、普遍ヒルベルト立方体$$は全可測集合を持つ。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.08983109077834
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce the category $\mathbf{SSS}$ of sample-smooth spaces over a mixed site. The test objects are the products $Ω_n := \mathbb{R}^n \times Ω$ of a Cartesian space with the universal Hilbert cube $Ω$ carrying all universally measurable sets, and a space is a set with a family of admissible plots $Ω_n \to \mathcal{X}$ closed under precomposition. Smoothness and measurability are then not two structures glued along an axiom, but one structure over one site. The site has finite non-empty products, because $Ω$ absorbs its own square; its Karoubi envelope contains every $\mathbb{R}^n$; and it has mixed morphisms $ω\mapsto (W(ω),Φ(ω))$, which turn measurability of a smooth family from an axiom into a consequence. $\mathbf{SSS}$ is a concrete quasitopos: complete, cocomplete, cartesian closed and locally cartesian closed, with a classifier for embeddings. Morphisms of Cartesian spaces are exactly the $C^\infty$ maps and manifolds embed full and faithfully, both without Boman's theorem. Every object has tangent and cotangent spaces, every morphism a differential. The modalities sit in an adjoint string $Π\dashv \flat \dashv \natural \dashv \sharp \dashv Λ$, making $\mathbf{SSS}$ cohesive over quasi-universal spaces. The point is the probability monad. Defining the plots of $\mathsf{P}(\mathcal{X})$ as push-forwards of $\mathcal{X}$-plots at every test object, $\mathsf{P}$ is an unconditional strong commutative affine monad on all of $\mathbf{SSS}$ -- functor, unit, product of kernels, multiplication and the monad laws are each one line of seed splitting -- and its Kleisli category, of differentiable simulators, is a Markov category. The reparametrisation trick holds by construction: every Kleisli morphism is plot-wise a sampler, stably under composition. A reflection theorem locates the whole gain in a single plot family.
• Abstract（参考訳）: 混合サイト上の標本滑らかな空間の圏 $\mathbf{SSS}$ を紹介する。 テスト対象はカルテシアン空間の積 $Ω_n := \mathbb{R}^n \times Ω$ で、普遍ヒルベルト立方体 $Ω$ はすべての普遍可測集合を持ち、空間は許容プロットの族 $Ω_n \to \mathcal{X}$ を前置詞で閉とする集合である。 滑らかさと可測性は、公理に沿って接着された2つの構造ではなく、1つの部位上の1つの構造である。 このサイトは有限個の空でない積を持ち、$Ω$は自身の正方形を吸収し、そのカルービのエンベロープはすべての$\mathbb{R}^n$を含む。 $\mathbf{SSS}$ は具体的四重極:完備、共完全、カルテジアン閉、局所カルテジアン閉、埋め込みの分類器である。 カルト空間のモルフィズムはまさに$C^\infty$写像であり、ボマンの定理がなければ、多様体は完全かつ忠実に埋め込まれる。 すべての対象は接空間と余接空間を持ち、すべての射 a は微分である。 モダリティは随伴する文字列 $\dashv \flat \dashv \natural \dashv \sharp \dashv >$ にあり、準ユニバーサル空間上の結合性$\mathbf{SSS}$ となる。 ポイントは確率モナドである。 $\mathsf{P}(\mathcal{X})$ のプロットをすべてのテストオブジェクトにおける $\mathcal{X}$-plots のプッシュフォワードとして定義すると、$\mathsf{P}$ は $\mathbf{SSS}$ -- 関手、単位、核積、乗法およびモナド法則はそれぞれのシード分割の一行であり、その微分可能シミュレータの Kleisli 圏はマルコフ圏である。 再パラメータ化のトリックは構成によって成り立つ: すべてのクレイズリ射はプロットワイドな標本であり、安定に構成されている。 リフレクション定理は、すべての利得を1つのプロットファミリーに配置する。

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