論文の概要: Type-II Error Bounds for Test Supermartingales from Lower-Tail Hypotheses

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.27766v1
• Date: Wed, 19 Aug 2026 16:00:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-28 05:09:55.96264
• Title: Type-II Error Bounds for Test Supermartingales from Lower-Tail Hypotheses
• Title（参考訳）: 低軌道仮説による試験過誤に対するタイプII誤差境界
• Abstract要約: Villeの不等式は、すべての重要度$in(0,1]$に対して、任意の時価の型Iエラーを保証する。 ログインクリメントの下部尾部への確率の集中は、蓄積された証拠を無力化する1つの破滅的な賭けにつながる可能性がある。 本稿では,これらの下尾確率の異なる仮説が,シーケンシャルテストのタイプII誤差の異なる境界にどのように影響するかを考察する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.08983109077834
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In safe hypothesis testing with test supermartingals, Ville's inequality provides anytime-valid type-I error guarantees for every significance level $α\in(0,1]$, if one rejects the null hypothesis whenever the wealth process first exceeds $\frac{1}α$. Due to an inherent asymmetry, the type-II error does not have such guarantees: a heavy concentration of the probability on the lower tail of the log-increments can lead to one catastrophic bet that undoes any amount of accumulated evidence. This paper studies how different hypotheses on those lower-tail probabilities lead to different bounds on the type-II error of the sequential test. They all reduce to one master inequality, which bounds the type-II error at level $α$, at a fixed horizon and sequentially, in terms of a one-sided Legendre transform of the (inverse-)moment generating function of the e-variables, evaluated at one number: the amount by which the lower bound of the accumulated e-powers exceeds $\log\frac{1}α$. And, the step is lossless, in the sense, that it extracts exactly a constrained information projection. Every bound presented here is a corollary, obtained by a certain majorant of the above function. The hypotheses are: a finite negative moment; an exponentially small crash probability with a moment on the winning side; a wealth floor with a conditional variance, and its Bernstein variant, which interpolates between a Gaussian regime set by the variance and an exponential one set by the scale; a sub-Gaussian or bounded-tilt lower tail; bounded log-increments; and i.i.d. increments, where the majorant is the truth. We also provide an empirical-Bernstein variant. Each hypothesis may either be read as a condition on the e-variables one has, or as the price of betting with an approximation to the likelihood ratio rather than the ratio itself, which satisfies the weakest condition for free.
• Abstract（参考訳）: テストスーパーマーチンガルを用いた安全な仮説テストにおいて、Villeの不等式は、全ての重要度$α\in(0,1]$に対して任意の時間価の型-I誤差を保証する。 ログインクリメントの下端の確率の重い集中は、任意の量の蓄積された証拠を解き放つ1つの破滅的な賭けに繋がる。 本稿では,これらの下尾確率の異なる仮説が,シーケンシャルテストのタイプII誤差の異なる境界にどのように影響するかを考察する。 それらはすべて1つのマスター不等式に還元され、これはレベル$α$のタイプIIエラーを固定地平線で束縛し、連続的に e-変数の(逆)モーメント生成関数の一方のルジャンドル変換を 1 つの数で評価する: 蓄積された e-パワーの下位境界が$\log\frac{1}α$を超える量である。 そして、このステップは、正確に制約された情報プロジェクションを抽出するという意味で、損失のないものです。 ここで提示されるすべての有界関数は、上記の関数のある種の主要元によって得られる余数である。 仮説は、有限負のモーメント、勝利側のモーメントを持つ指数的に小さなクラッシュ確率、条件分散を持つ富のフロア、およびスケールによって設定されたガウス的政権とスケールによって設定された指数関数的政権の間に補間するベルンシュタイン変法、亜ガウス的または有界的な下尾、有界な対数増分、すなわち、主元が真理であるインクリメントである。 また、経験的ベルンシュタイン変種も提供する。 それぞれの仮説は、ある e-変数の条件として読み取られるか、あるいは、最も弱い条件を満たす比率そのものよりも、確率比に近似して賭ける価格として読むことができる。

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