論文の概要: Logical Operator Decomposition for Distance Analysis of Bivariate Bicycle Codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.39395v2
- Date: Thu, 01 Oct 2026 06:17:49 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-03 01:19:23.55614
- Title: Logical Operator Decomposition for Distance Analysis of Bivariate Bicycle Codes
- Title（参考訳）: 二変量複サイクル符号の距離解析のための論理演算子分解
- Abstract要約: Z$-logical quotient $K/S$ over $mathbb F[x,y]/(xell-1,ym-1)。
有限群代数のフロベニウス構造を用いて、すべてのBB符号に対して$r_mathcal A=r_mathcal C=k/2$を証明する。
下界に対しては、最小ウェイト論理作用素のすべての固有部分集合がノンゼロシンドロームを持つことを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.812718493682454
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Bivariate bicycle (BB) quantum codes are a prominent finite-length family of quantum low-density parity-check codes, but their minimum distance is usually established numerically rather than read from the defining polynomials. We study the $Z$-logical quotient $K/S$ over $\mathbb F_2[x,y]/(x^\ell-1,y^m-1)$ and show that it fits into a short exact sequence with an annihilator quotient as kernel and a colon quotient as cokernel. The sequence gives an explicit logical basis, a dimension formula, and a componentwise distance identity $d_Z=\min(d_{\mathcal A},d_{\mathcal C})$. Using the Frobenius structure of the finite group algebra, we prove $r_{\mathcal A}=r_{\mathcal C}=k/2$ for every BB code, including repeated-root cases. The algebraic component of a logical class is distinct from the support shape of its lightest representatives: an annihilator class can have a lighter two-block representative, and a colon class can have a one-sided minimum. For lower bounds we show that every proper subset of a minimum-weight logical operator has nonzero syndrome, and that this property persists inside the colon component but not inside the annihilator component. A translation-anchored cluster search built on it proves the distances $4,6,10,10,12,18$ of the six standard BB codes of lengths $18$ to $288$ and enumerates every minimum-weight logical operator. The resulting census shows that $[[108,8,10]]$ is the only one of the six whose distance is attained in a single component, with $d_{\mathcal C}=10$ and $d_{\mathcal A}=12$.
- Abstract（参考訳）: Bivariate bike (BB) 量子符号は、量子低密度パリティチェック符号の顕著な有限長の族であるが、その最小距離は通常、定義多項式から読み取るのではなく数値的に確立される。
我々は、$Z$-logical quotient $K/S$ over $\mathbb F_2[x,y]/(x^\ell-1,y^m-1)$を調査し、カーネルとしてのAnnihilator quotientとコカーネルとしてのcolon quotientとの短い完全列に適合することを示す。
この列は、明示的な論理基底、次元公式、および成分的距離単位$d_Z=\min(d_{\mathcal A},d_{\mathcal C})$を与える。
有限群代数のフロベニウス構造を用いて、繰り返し根の場合を含むすべてのBB符号に対して$r_{\mathcal A}=r_{\mathcal C}=k/2$を証明する。
論理クラスの代数的成分は、最も軽い代表の支持形状とは異なっている: アニヒレータ類はより軽い2ブロックの代表を持ち、コロン類は一方的な最小値を持つことができる。
下界について、最小ウェイト論理作用素のすべての固有部分集合はゼロではないことを示し、この性質はコロン成分の内部に持続するが、アニヒレータ成分の内部には持続しないことを示す。
6つの標準BB符号のうち4,6,10,10,10,12,18ドルが18ドルから288ドルであり、最小の論理演算子をすべて列挙している。
結果として得られた国勢調査によると、$[[[108,8,10]]$は、単一のコンポーネントで距離が到達した6つの中の1つであり、$d_{\mathcal C}=10$と$d_{\mathcal A}=12$である。
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