論文の概要: Randomness of exact unitary designs under symmetry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.40227v1
• Date: Wed, 30 Sep 2026 17:28:59 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-01 18:57:28.18228
• Title: Randomness of exact unitary designs under symmetry
• Title（参考訳）: 対称性下における厳密なユニタリデザインのランダム性
• Abstract要約: 物理対称性の存在下では、アンサンブルのすべての作用素が対称性互換であるとは限らない。 任意に高い設計強度を持つ有限個のユニタリアンサンブルが存在することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.617487928813374
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We define the unitary design strength of a finite unitary ensemble to be the maximal integer $t$ for which its $t$-th statistical moment is identical to that of the unitary group. In the presence of physical symmetry, not all operators of an ensemble are symmetry-compatible. This motivates us to define the symmetric design strength of a finite unitary ensemble to be the maximal integer $t$ for which the $t$-th moments of its symmetry-compatible sub-ensemble match those of the group of symmetry-compatible unitaries. We show that in sufficiently high dimension and for a broad family of symmetries, which includes the global on-site $\mathrm{U}(1)$ and $\mathrm{SU}(d)$ symmetries, there exist finite unitary ensembles of arbitrarily high design strength whose symmetric design strength is strictly higher. Ensembles with this property may be more versatile under symmetry constraints for protocols that rely on unitary randomization than they are without symmetry. Our results extend the previous work [Mitsuhashi and Yoshioka, PRX Quantum 4.4 (Nov. 2023)] showing that the symmetric design strength of the Clifford group is strictly upper bounded by its unitary design strength for symmetries that do not trivialize the symmetry-compatible unitaries. Due to the special significance of unitary designs with a group structure, we also derive a variety of bounds on the unitary and symmetric design strengths of finite unitary ensembles whose operators form a group. In particular, we provide a simple proof that an arbitrary ensemble of operators forming a finite group must have a symmetric design strength of at most two under the global on-site $\mathrm{U}(1)$ and $\mathrm{SU}(d)$ symmetries. Along the way, we show that there exist uniformly weighted groups of arbitrarily high symmetric design strength in arbitrary dimension and analyze their structure.
• Abstract（参考訳）: 有限ユニタリアンサンブルの単位設計強度を、その$t$-番目の統計モーメントがユニタリ群のそれと同じ最大整数$t$と定義する。 物理対称性の存在下では、アンサンブルのすべての作用素が対称性互換であるとは限らない。 これは、有限ユニタリアンサンブルの対称設計強度を、その対称性互換部分アンサンブルの$t$-番目のモーメントが対称互換ユニタリ群のそれと一致する最大整数$t$と定義する動機である。 十分に高次元かつ広い対称性の族において、大域的オンサイト$\mathrm{U}(1)$および$\mathrm{SU}(d)$対称性を含む、対称設計強度が厳密に高い任意の高設計強度の有限なユニタリアンサンブルが存在することを示す。 この性質のアンサンブルは、対称性のないものよりもユニタリなランダム化に依存するプロトコルに対して対称性の制約の下でより汎用的であるかもしれない。 以上の結果から, クリフォード群の対称設計強度は, 対称性互換ユニタリを自明にしない対称性のユニタリ設計強度により, 厳密な上界にあることが示唆された(三橋, 吉岡, PRX量子 4.4 (2023))。 群構造を持つユニタリ設計の特別な重要性から、作用素が群を形成する有限ユニタリアンサンブルのユニタリおよび対称設計強度にも様々な境界が導かれる。 特に、有限群を構成する作用素の任意のアンサンブルが、大域的オンサイト$\mathrm{U}(1)$および$\mathrm{SU}(d)$対称性の下で少なくとも2つの対称設計強度を持つ必要があるという単純な証明を与える。 その過程で、任意の次元に任意に高い対称設計強度を持つ一様重み付き群が存在し、それらの構造を解析する。

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