論文の概要: CAS II: Symmetric Partitions as Kolmogorov Models

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.40290v1
• Date: Wed, 30 Sep 2026 17:49:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-01 18:57:28.260139
• Title: CAS II: Symmetric Partitions as Kolmogorov Models
• Title（参考訳）: CAS II: Kolmogorov モデルとしての対称性分割
• Abstract要約: 統計学において、文字列 x はそれを含む有限集合によって説明され、コルモゴロフの構造関数は各複雑性のレベルで最小のそのようなモデルを記録する。 我々は二進弦の分割を仮説として読み出し、そのモデルとして x を含むセルを配置し、対称分割に関するアルゴリズム統計学を開発する。 結果として得られる構造関数と、x の正則性の一部が対称となる対称ソフィケーション測度が成立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6091702876917279
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In algorithmic statistics a string x is explained by a finite set containing it, and Kolmogorov's structure function records the smallest such model at each level of complexity. Vereshchagin's strong models, those computable from the data by a total algorithm, are essentially the cells of simple partitions. We read a partition of binary strings as a hypothesis, with the cell containing x as its model, and develop algorithmic statistics over symmetric partitions: the orbit partitions of groups acting on strings. The Galois connection between subgroups and partitions gives each ambient group a lattice of symmetric partitions, with canonical certificates, canonical costs, and an algebra of hypotheses. The resulting structure function and symmetric sophistication measure which part of the regularity of x is symmetric. For the full symmetric group every partition is symmetric: cells recover all Kolmogorov models, cells of cheap partitions recover exactly the strong models, and normal and strange strings are characterized by symmetry. For GL(n,2) the cells are exactly the linearly homogeneous sets, so linear symmetry is a restricted model class. For nonzero x, the linear-symmetry structure function lies in a band between the sufficiency line and the trivial bound, and both edges are attained: there are stochastic normal strings whose simple structure is invisible to linear symmetry. We also give coordinates on the space of permutation groups: each group is an element of a Burnside ring (its type) together with a permutation (its placement), and restriction moves refine partitions via the Mackey formula. In these coordinates the collapse for the symmetric group is a statement about placement, a linear hypothesis is determined by its type up to n^2 bits, and the maximal gap theorem shows that any space of symmetry hypotheses small enough to search is small enough to miss simple structure.
• Abstract（参考訳）: アルゴリズム統計学において、文字列 x はそれを含む有限集合によって説明され、コルモゴロフの構造関数は各複雑性のレベルで最小のそのようなモデルを記録する。 ヴェレシュチャギンの強いモデルは、全アルゴリズムでデータから計算可能なもので、基本的には単純な分割のセルである。 我々は二進弦の分割を仮説として読み、セルは x をモデルとし、対称分割上のアルゴリズム統計(弦に作用する群の軌道分割)を開発する。 部分群と分割の間のガロア接続は、各周囲群に正準証明、正準コスト、仮説の代数学を含む対称分割の格子を与える。 結果として得られる構造関数と、x の正則性の一部が対称となる対称ソフィケーション測度が成立する。 すべての分割は対称的である: セルは全てのコルモゴロフ模型を復元し、安価な分割を持つセルはちょうど強い模型を復元し、通常の弦と奇妙な弦は対称性によって特徴づけられる。 GL(n,2) に対して、セルはちょうど線型同次集合であるので、線形対称性は制限されたモデルクラスである。 非零 x に対して、線型対称性構造関数は、充足直線と自明な有界な境界の間のバンドに存在し、両方の辺は達成される:単純構造が線型対称性に見えない確率的正規弦が存在する。 また、置換群の空間上の座標を与える: 各群は、置換(配置)とともにバーンサイド環(型)の元であり、制限は、マッキー公式(英語版)(Mackey formula)を介して洗練された分割を移動させる。 これらの座標において、対称群の崩壊は配置に関する言明であり、線型仮説は n^2 ビットまでの型によって決定され、最大ギャップ定理は、任意の対称性の空間が単純な構造を見逃すのに十分小さいことを示す。

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