論文の概要: CAS II: Orbits as Models: Kolmogorov's Structure Function under Symmetry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.40290v2
• Date: Mon, 05 Oct 2026 13:13:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-07 04:43:28.487711
• Title: CAS II: Orbits as Models: Kolmogorov's Structure Function under Symmetry
• Title（参考訳）: CAS II: モデルとしての軌道: シンメトリー下のコルモゴロフの構造関数
• Abstract要約: 弦 x はそれを含む有限集合で説明され、コルモゴロフの構造関数は各複雑性のレベルで最小のそのようなモデルを記録する。 データから全アルゴリズムで計算可能な強いモデルは、基本的には単純な分割のセルである。 我々は、対称分割(弦に作用する群の軌道分割)に関するアルゴリズム統計学を開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6091702876917279
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In algorithmic statistics a string x is explained by a finite set containing it, and Kolmogorov's structure function records the smallest such model at each level of complexity. Strong models, those computable from the data by a total algorithm, are essentially the cells of simple partitions, so a partition of {0,1}^n can be read as a hypothesis and the cell containing x as the model it assigns. We develop algorithmic statistics over symmetric partitions, the orbit partitions of groups acting on strings. The Galois connection between subgroups and partitions gives each ambient group G a lattice of symmetric partitions with canonical certificates, joins and meets. A set is a cell of a symmetric partition exactly when its setwise stabiliser in G acts transitively on it, so the resulting structure function is Kolmogorov's restricted to these G-homogeneous sets. With a symmetric sophistication, it measures which part of the regularity of x is symmetric. Under the full symmetric group, cells recover all models and cells of cheap partitions recover exactly the strong models, so normal and strange strings are characterised by symmetry. For GL(n,2) the homogeneous sets are the linearly homogeneous ones, whose XOR dependencies look the same from every point. The GL structure function of a nonzero x lies in a band between C(x) - alpha and n - alpha, and both edges are attained: some stochastic normal strings have simple structure invisible to linear symmetry, with sophistication near 0 but GL-sophistication near C(x). We coordinatise permutation groups by a Burnside ring element (type) and a permutation (placement). In these coordinates a linear hypothesis is determined by its type up to n^2 bits, and any space of symmetry hypotheses small enough to search is small enough to miss simple structure. This sets up learned search over orbit models, the subject of later papers in the series.
• Abstract（参考訳）: アルゴリズム統計学において、文字列 x はそれを含む有限集合によって説明され、コルモゴロフの構造関数は各複雑性のレベルで最小のそのようなモデルを記録する。 全アルゴリズムでデータから計算可能な強いモデルは基本的には単純な分割のセルであるので、 {0,1}^n の分割は仮説として、 x を含むセルはそれが割り当てるモデルとして読むことができる。 我々は、対称分割(弦に作用する群の軌道分割)に関するアルゴリズム統計学を開発する。 部分群と分割の間のガロア接続は、各周囲群 G に正準証明、結合および整合を持つ対称分割の格子を与える。 集合は対称分割のセルであり、G の集合的安定化器が推移的に作用する場合にその構造関数はこれらの G-同次集合に制限されるコルモゴロフのものである。 対称ソフィケーションでは、x の正則性のどの部分が対称であるかを測る。 完全な対称群の下では、安価な分割の全てのモデルとセルは正確に強いモデルを回復するので、通常の弦と奇妙な弦は対称性によって特徴づけられる。 GL(n,2) に対し、同次集合は線型同次集合であり、XOR の依存関係はすべての点から同じように見える。 非零 x の GL 構造関数は C(x) - α と n - α の間の帯域にあり、両方の辺は達成される: 確率正規弦の中には線型対称性に見えない単純な構造を持つものもあり、その近辺は 0 であるが C(x) 近傍は GL-ソフィケーションである。 置換群をバーンサイド環要素(型)と置換(配置)でコーディネートする。 これらの座標において、線形仮説は n^2 ビットまでの型によって決定され、任意の対称性の空間は単純な構造を見逃すのに十分小さい。 これは、後のシリーズの論文の主題である、軌道モデルに関する学習された探索をセットアップする。

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