論文の概要: Quantum Optimal Transport Barycenters: Existence, Duality, and Gaussian Rigidity
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.01855v1
- Date: Thu, 01 Oct 2026 15:19:42 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-03 01:19:24.220755
- Title: Quantum Optimal Transport Barycenters: Existence, Duality, and Gaussian Rigidity
- Title（参考訳）: 量子最適輸送バリアセンター:存在、二重性、ガウス剛性
- Abstract要約: 量子状態のためのQOT(Quantum Optimal Transport)バリセンターフレームワークを開発した。
我々は、分離可能なヒルベルト空間上の、潜在的に非有界な輸送コストの幅広いクラスの存在と双対性の結果を確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.648243715475596
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We develop a Quantum Optimal Transport (QOT) barycenter framework for quantum states, as an analog of Wasserstein barycenters~\cite{AguCar}, and establish existence and duality results for a broad class of possibly unbounded transport costs on separable Hilbert spaces. Our framework provides, in particular, a unified treatment of $2$-quantum Wasserstein (QW) barycenters in both the quantum-state and quantum-channel formulations by specializing to the canonical quadratic cost operators associated with the $2$-quantum Wasserstein distances of Caglioti--Golse--Mouhot--Paul~\cite{caglioti2021towards,Golse-Mouhot-Paul:2016} and De Palma--Trevisan~\cite{DPaTre19}. The central results concern Gaussian input states and, in particular, Gaussian rigidity: whether Gaussian input states force the 2-QW barycenter itself to be Gaussian and uniquely determined when the minimization is taken over all quantum states. We first show that the barycenter problem admits a Gaussian minimizer and reduces to a finite-dimensional convex optimization problem over covariance matrices. The main difficulty is that uniqueness of the optimal covariance does not, in general, imply uniqueness of the underlying quantum state. We bridge this gap through a state-reconstruction principle under covariance complementary slackness that upgrades uniqueness of the optimal covariance to uniqueness of the full quantum state, and thereby prove a global rigidity theorem: if at least one Gaussian input is faithful, then the barycenter is unique among all quantum states and is necessarily Gaussian. Faithfulness is sufficient but not necessary: families of pure inputs still determine a unique barycenter, whereas partially pure nonfaithful Gaussian inputs may admit multiple barycenters.
- Abstract（参考訳）: 我々は、量子状態のための量子最適輸送(QOT)バリーセンタフレームワークを、ワッサーシュタインのバリセンタ~\cite{AguCar} の類似として開発し、分離可能なヒルベルト空間上の潜在的に非有界な輸送コストの幅広いクラスに対する存在と双対性の結果を確立する。
特に、量子状態および量子チャネルの定式化における2ドル量子ワッサースタイン(QW)バリセンタの統一的な処理は、カグリオティ-ゴルセ-モウホート-ポール~\cite{caglioti2021towards, Golse-Mouhot-Paul:2016} と De Palma-Trevisan~\cite{DPaTre19} の2ドル量子ワッサースタイン距離に関連する正準二次コスト演算子に特化することで行われる。
中心的な結果はガウスの入力状態、特にガウスの剛性に関するものであり、ガウスの入力状態がガウスの2-QWバリ中心自体をガウス的かつ一意的に決定するかどうかである。
まず、バリセンタ問題はガウス最小化を許容し、共分散行列上の有限次元凸最適化問題に還元することを示した。
主な困難は、最適共分散の特異性は、一般に、基礎となる量子状態の特異性を含まないことである。
このギャップを共分散相補的なスラックネスの下で状態-再構成原理を通じてブリッジし、最適共分散の特異性を全量子状態の特異性にアップグレードし、大域的剛性定理を証明する:少なくとも1つのガウス入力が忠実であれば、バリ中心は全ての量子状態の中で一意であり、必ずしもガウス的である。
純粋な入力の族は依然としてユニークなバリセンタを決定するが、部分的に純粋でないガウス入力は複数のバリセンタを許容する。
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