論文の概要: Cups and Gates II: Operads, twists, and addressable intra-code gates

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.05214v1
• Date: Sun, 04 Oct 2026 13:31:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-10 22:32:29.06422
• Title: Cups and Gates II: Operads, twists, and addressable intra-code gates
• Title（参考訳）: カップとゲートII:操作、ツイスト、アドレス可能なコード内ゲート
• Abstract要約: コード自己同型、高ねじれコホモロジー演算、相対コホモロジーにおける折り畳み演算を導入する。 このフレームワークには$mathbbZ/2$から$mathbbZ/2k$までの係数を持ち上げる操作が含まれており、すべての対角論理ゲートが可能である。 我々はコホモロジーの操作を導入し、例えば高次にねじれたポントリャーギンの力は、我々の知識に以前は数学の文献に現れなかった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.15738282053772
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In Part I, we introduced a general framework for constructing logical gates in quantum CSS codes from cohomology invariants, focusing on cup products and their generalizations from topological to qLDPC codes. In particular, we produced a family of $C^{k-1}Z$ logical gates that we called copy-cup on $k$ copies of the same quantum code implemented by finite-depth circuits. Here, we vastly extend this framework by introducing twists incorporating code automorphisms, higher twisted cohomology operations, and folding operations in relative cohomology. The framework includes operations lifting coefficients from $\mathbb{Z}/2$ to $\mathbb{Z}/2^k$, enabling all diagonal logical gates such as single-qubit rotations $\operatorname{R}(2π/2^k)$. Composing these operations with maps that select cohomology classes yields addressable logical gates. Examples include addressable $T$ gates on three- and four-tori and gates in qLDPC codes beyond topological ones. We introduce cohomology operations, such as the higher twisted Pontryagin powers, that to our knowledge have not previously appeared in the mathematics literature. These operations arise from $E_\infty$-structures on cochains, with explicit constructions using cyclic resolutions and the surjection operad. We expect these results to be of independent interest in homotopy theory. Our formalism applies much more broadly to chain complexes carrying suitable operadic structures, and we expect this operadic perspective to uncover further connections between homotopy theory and fault-tolerant quantum gates.
• Abstract（参考訳）: 第1部では、コホモロジー不変量から量子CSSコードに論理ゲートを構築するための一般的なフレームワークを導入し、カップ製品とそのトポロジカルからqLDPCコードへの一般化に焦点を当てた。 特に、我々は$C^{k-1}Z$論理ゲートのファミリーを作り、有限深度回路で実装された同じ量子コードの$k$コピーをコピーカップと呼んだ。 ここでは、コード自己同型、高次ツイストコホモロジー演算、相対コホモロジーにおける折り畳み演算を組み込んだツイストを導入することにより、このフレームワークを大いに拡張する。 このフレームワークは、$\mathbb{Z}/2$から$\mathbb{Z}/2^k$への係数を持ち上げる演算を含み、単一のキュービット回転のような全ての対角論理ゲートを$\operatorname{R}(2π/2^k)$にすることができる。 これらの演算をコホモロジークラスを選択する写像で構成すると、アドレス可能な論理ゲートが得られる。 例えば、3-と4-toriの$T$ゲートや、qLDPC符号のトポロジ上のゲートなどである。 我々はコホモロジーの操作を導入し、例えば高次にねじれたポントリャーギンの力は、我々の知識に以前は数学の文献に現れなかった。 これらの演算はコチェイン上の$E_\infty$-structuresから生じ、巡回分解とサージェクションを用いた明示的な構成が操作される。 これらの結果はホモトピー理論に独立した関心を持つものと期待する。 我々の定式化は、適切な操作構造を持つ連鎖複体に対してより広く適用され、この操作的視点がホモトピー理論とフォールトトレラント量子ゲートの間のさらなる関係を明らかにすることを期待する。

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