論文の概要: Asymptotically Good Quantum Codes with Transversal Non-Clifford Gates
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.09254v1
- Date: Sat, 17 Aug 2024 16:54:51 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-20 21:39:37.398459
- Title: Asymptotically Good Quantum Codes with Transversal Non-Clifford Gates
- Title（参考訳）: 非クリフォードゲートを持つ漸近的に良い量子符号
- Authors: Louis Golowich, Venkatesan Guruswami,
- Abstract要約: 我々は、任意の素数次元$q$のクォーディット上の$CCZ$ゲートをサポートする量子符号を構築する。
このような線形次元と距離で知られている唯一の構造は、成長するアルファベットサイズ$q$を必要とした。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 23.22566380210149
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We construct quantum codes that support transversal $CCZ$ gates over qudits of arbitrary prime power dimension $q$ (including $q=2$) such that the code dimension and distance grow linearly in the block length. The only previously known construction with such linear dimension and distance required a growing alphabet size $q$ (Krishna & Tillich, 2019). Our codes imply protocols for magic state distillation with overhead exponent $\gamma=\log(n/k)/\log(d)\rightarrow 0$ as the block length $n\rightarrow\infty$, where $k$ and $d$ denote the code dimension and distance respectively. It was previously an open question to obtain such a protocol with a contant alphabet size $q$. We construct our codes by combining two modular components, namely, (i) a transformation from classical codes satisfying certain properties to quantum codes supporting transversal $CCZ$ gates, and (ii) a concatenation scheme for reducing the alphabet size of codes supporting transversal $CCZ$ gates. For this scheme we introduce a quantum analogue of multiplication-friendly codes, which provide a way to express multiplication over a field in terms of a subfield. We obtain our asymptotically good construction by instantiating (i) with algebraic-geometric codes, and applying a constant number of iterations of (ii). We also give an alternative construction with nearly asymptotically good parameters ($k,d=n/2^{O(\log^*n)}$) by instantiating (i) with Reed-Solomon codes and then performing a superconstant number of iterations of (ii).
- Abstract（参考訳）: 任意の素電力次元$q$ ($q=2$を含む) の量子符号を、ブロック長で符号次元と距離が直線的に増加するように構成する。
そのような線形次元と距離を持つ唯一の構造は、成長するアルファベットサイズ$q$を必要とした(Krishna & Tillich, 2019)。
私たちのコードは、ブロック長$n\rightarrow\infty$として、オーバーヘッド指数$\gamma=\log(n/k)/\log(d)\rightarrow 0$でマジック状態蒸留のためのプロトコルを示します。
それまでは、このプロトコルをコンタントアルファベットサイズ$q$で取得することは、オープンな問題であった。
私たちは2つのモジュールコンポーネント、すなわち2つのコンポーネントを組み合わせることでコードを構築します。
(i)ある性質を満たす古典符号から超越的な$CCZ$ゲートをサポートする量子符号への変換
(ii)transversal $CCZ$ gatesをサポートする符号のアルファベットサイズを縮小する結合方式。
このスキームでは、部分体の観点から、体上の乗法を表現する方法を提供する乗法フレンドリな符号の量子アナログを導入する。
我々はインスタンス化によって漸近的に良い構成を得る
(i)代数幾何学符号を用い、一定数の反復を施す
(II)。
また、ほぼ漸近的に良いパラメータ(k,d=n/2^{O(\log^*n)}$)をインスタンス化して別の構成を与える。
(i)リード・ソロモン符号を用いて超一貫した回数の反復を行う
(II)。
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