論文の概要: IGA-KAN: Isogeometric Analysis with Physics-Informed Closed-Form Kolmogorov-Arnold Networks for Forward and Inverse PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.06348v1
- Date: Mon, 05 Oct 2026 13:48:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-09 09:02:32.7156
- Title: IGA-KAN: Isogeometric Analysis with Physics-Informed Closed-Form Kolmogorov-Arnold Networks for Forward and Inverse PDEs
- Title（参考訳）: IGA-KAN:フォワードおよび逆PDEのための物理インフォーム閉形式コルモゴロフ・アルノルドネットワークを用いた等幾何学的解析
- Abstract要約: アイソ幾何学解析(IGA)は、正確なNURBS幾何に基づいて偏微分リッジメッシュ方程式を正確に解く。
閉形式に適合するコロロロフ解を提案する。
IGA-頂点パッチは、方程式の強い形式、正確な境界データおよびu_hに適合し、モデルをIGAハット関数でブレンドする。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6129038420956788
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Isogeometric analysis (IGA) solves partial differential equations accurately on exact NURBS geometry, whereas neural solvers are mesh-free but often orders of magnitude less accurate and typically trained by non-convex optimization without error control. We propose IGA-KAN, which uses local Kolmogorov-Arnold networks, fitted in closed form, to improve the IGA solution instead of replacing it. An IGA Galerkin solve produces u_h; on every knot-vertex patch a Kolmogorov-Arnold ridge model is fitted to the strong form of the equation, the exact boundary data and u_h, and the models are blended by IGA hat functions. With fixed inner functions the fit is one batched linear least-squares problem, without optimizer, learning rate or initialization. An a posteriori safeguard, motivated by a maximum-principle bound, decides where local models are used, keeping the IGA solution elsewhere. On eight benchmarks with exact solutions, five from the literature and one also posed on a domain fitted to a brain slice from MRI, the method reduces the error of IGA, at an unchanged number of Galerkin unknowns, by factors of 4.2 to 90 in L^2 and 4.1 to 220 in H^1 on the reference meshes, and its L^2 error is 6 to 6x10^4 times smaller than that of the best Kolmogorov-Arnold network trained from scratch on the same equations with a fixed budget. In an inverse problem it recovers an unknown constant source from one noise-free observation 167 times more accurately than IGA. The gain is attributed to the superconvergence of local averages of the Galerkin solution.
- Abstract（参考訳）: IGA(Isogeometric Analysis)は、正確なNURBS幾何に基づいて偏微分方程式を正確に解くが、ニューラルソルバはメッシュフリーであるが、桁違いの精度は小さく、通常はエラー制御なしで非凸最適化によって訓練される。
ローカルなコルモゴロフ・アルノルドネットワークを用いたIGA-KANを提案する。
IGAガレルキン解は u_h を生成し、全てのノット頂点パッチにおいて、コルモゴロフ・アルノルドリッジモデルが方程式の強い形式、正確な境界データと u_h に適合し、モデルは IGA ハット関数で混合される。
固定内部関数では、最適化や学習率、初期化を伴わない1つのバッチ化された線形最小二乗問題である。
最大原理境界によって動機付けられた後部安全ガードは、ローカルモデルの使用場所を決定し、IGAソリューションを他の場所に保持する。
文献の5つとMRIの脳スライスに適合した領域に設定された8つのベンチマークでは、基準メッシュ上の4.2から90とH^1の4.1から220の係数でIGAの誤差を減少させ、そのL^2の誤差は、固定予算のある同じ方程式で訓練されたコルモゴロフ・アルノルドネットワークの6～6x10^4倍である。
逆問題では、IGAの167倍の精度で1つのノイズフリー観測から未知の定数源を復元する。
この利得は、ガレルキン解の局所平均の超収束に起因する。
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