論文の概要: An overview of machine learning-enhanced iterative methods for systems of linear and nonlinear equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.07211v1
• Date: Mon, 05 Oct 2026 18:25:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-08 02:58:29.586455
• Title: An overview of machine learning-enhanced iterative methods for systems of linear and nonlinear equations
• Title（参考訳）: 線形方程式および非線形方程式系の機械学習強化反復法の概要
• Abstract要約: 方程式の系は、幅広い科学的・工学的な応用に現れる。 効率的で堅牢な反復法の開発は依然として研究の活発な領域である。 近年,古典的反復法の効率化に機械学習技術が応用されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 45.48230752989599
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Systems of equations arise in a wide range of scientific and engineering applications. The present work focuses on solvers for general systems of equations, including but not limited to those arising from partial differential equations. These systems can be broadly categorized into linear and nonlinear problems. For large linear systems, iterative solvers are generally preferred over direct methods due to the latter's superlinear growth of computational costs. Although convergence theory is well-developed under certain assumptions on the coefficient matrix, many classes of systems still pose open challenges. These difficulties become even more severe for systems of nonlinear equations, where nonlinear solvers typically rely on repeated linearization. For example, Newton's method may even converge quadratically near the solution; it can also converge slowly or diverge when the initial guess is not chosen appropriately. A wide range of solvers with diverse variants and hyperparameter settings exists, and the development of efficient and robust iterative methods remains an active area of research. Recently, machine learning (ML) techniques have been applied to enhance the efficiency of classical iterative methods while preserving their interpretability and reliability. We refer to these ML-enhanced iterative methods as hybrid iterative methods, in the sense that they combine classical iterative methods with ML. This paper provides a comprehensive overview of state-of-the-art approaches to constructing hybrid iterative methods for systems of both linear and nonlinear equations, while also discussing open challenges and outlining potential directions for future research.
• Abstract（参考訳）: 方程式の系は、幅広い科学的・工学的な応用に現れる。 本研究は、偏微分方程式から生じる方程式に限らず、一般方程式系の解法に焦点をあてる。 これらの系は、線形問題と非線形問題に大別できる。 大規模線形系の場合、反復解法は計算コストの超線形成長のために直接法よりも一般的に好まれる。 収束理論は係数行列上の特定の仮定の下で十分に発展しているが、多くの系のクラスは依然としてオープンな課題を提起している。 これらの困難は、非線形解法が典型的に繰り返し線形化に依存する非線形方程式系においてさらに深刻になる。 例えば、ニュートンの手法は解の近くで二次的に収束することもあるが、初期推定が適切に選択されない場合には、ゆっくりと収束したり、分岐したりすることもできる。 多様な変種とハイパーパラメータ設定を持つ幅広い解法が存在するが、効率的で堅牢な反復法の開発は研究の活発な領域である。 近年,機械学習(ML)技術は,解釈可能性と信頼性を保ちながら,古典的反復法の効率化に応用されている。 本稿では,これらのML強化反復法を,古典的反復法とMLを組み合わせるという意味で,ハイブリッド反復法と呼ぶ。 本稿では、線形方程式と非線形方程式の両方の系に対するハイブリッド反復法を構築するための最先端のアプローチを概観するとともに、開放的課題を論じ、今後の研究の方向性を概観する。

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