論文の概要: A Minimal Bicomplex Extension of the Complex Scalar Algebra of Quantum Mechanics with an Ideal-Valued Sector

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.09747v1
• Date: Wed, 07 Oct 2026 09:38:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-08 21:58:22.834884
• Title: A Minimal Bicomplex Extension of the Complex Scalar Algebra of Quantum Mechanics with an Ideal-Valued Sector
• Title（参考訳）: 理想値セクタを持つ量子力学の複素スカラー代数の最小二複素拡張
• Abstract要約: 我々は、標準的な量子力学が複素数をスカラー代数として取ることを示した。 この複素構造が代数的に基本的なのか、それともより大きい可換かつ連想的なスカラー代数の卓越した埋め込みセクターを形成するのかを問う。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Standard quantum mechanics takes the complex numbers as its scalar algebra. We ask whether this complex structure is algebraically fundamental or may instead form a distinguished embedded sector of a larger commutative and associative scalar algebra. Requiring the ordinary complex sector to remain intact while admitting an additional stable complex-like analytic sector turns the latter into a proper ideal, makes zero divisors unavoidable in finite dimension, and implies a lower bound of four real dimensions. The bicomplex algebra realizes this minimum, and under an additional compatibility assumption the four-dimensional realization is unique up to isomorphism. The resulting algebra exhibits two distinct decompositions: the canonical decomposition into orthogonal idempotent ideals and a decomposition adapted to the embedded complex sector and the additional ideal-valued sector. The ordinary complex scalars therefore lie diagonally across the canonical idempotent decomposition. The ideal sector supports Taylor series, oscillatory exponentials, Fourier-type kernels, and Schrödinger-type expressions, and carries a formal ideal-valued eigenvalue structure. Restricting the Born rule to the embedded complex sector recovers its standard form. Whether this dual scalar architecture has physical significance beyond the algebraic framework remains an open question.
• Abstract（参考訳）: 標準量子力学は複素数をスカラー代数とみなす。 この複素構造が代数的に基本的なのか、それともより大きい可換かつ連想的なスカラー代数の卓越した埋め込みセクターを形成するのかを問う。 通常の複素セクターはそのままでなければならないが、追加の安定な複素様解析セクターは後者を固有イデアルに変え、零因子を有限次元では避けられないものにし、4つの実次元の下位境界を暗示する。 双複素代数はこの最小値を実現し、追加の互換性仮定の下では、四次元の実現は同型に一意である。 結果として得られる代数は、正標準分解を直交等等級イデアルに分解することと、埋め込み複素セクターと追加のイデアル値セクターに適応する分解の2つの異なる分解を示す。 したがって、通常の複素スカラーは正準等等化分解を対角に横切る。 理想セクターはテイラー級数、発振指数、フーリエ型核、シュレーディンガー型表現をサポートし、形式的な理想値固有値構造を持つ。 ボルン規則を組込み複素セクターに制限することは、その標準形式を回復させる。 この双対スカラーアーキテクチャが代数的フレームワークを超えて物理的に重要であるかどうかは、未解決の問題である。

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