論文の概要: Quantum two-dimensional superintegrable systems in flat space: exact-solvability, hidden algebra, polynomial algebra of integrals

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.24045v1
• Date: Tue, 30 Dec 2025 07:39:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-01 23:27:28.313586
• Title: Quantum two-dimensional superintegrable systems in flat space: exact-solvability, hidden algebra, polynomial algebra of integrals
• Title（参考訳）: 平坦空間における量子2次元超可積分系:完全可解性、隠れ代数、積分の多項式代数
• Authors: Alexander V Turbiner, Juan Carlos Lopez Vieyra, Pavel Winternitz,
• Abstract要約: Smorodinsky-Winternitz ポテンシャル I-II (ホルトポテンシャル)、Fokas-Lagerstrom モデル、3body Calogero モデル、Wolfes (等価に$G$ rational または $I_6$) モデルを含む。 これらの全ては完全解決可能であることが示され、モントリオール予想が確かめられる。 各モデルは無限個の有限次元不変部分空間によって特徴づけられ、無限フラグを形成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 41.99844472131922
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this short review paper the detailed analysis of six two-dimensional quantum {\it superintegrable} systems in flat space is presented. It includes the Smorodinsky-Winternitz potentials I-II (the Holt potential), the Fokas-Lagerstrom model, the 3-body Calogero and Wolfes (equivalently, $G_2$ rational, or $I_6$) models, and the Tremblay-Turbiner-Winternitz (TTW) system with integer index $k$. It is shown that all of them are exactly-solvable, thus, confirming the Montreal conjecture (2001); they admit algebraic forms for the Hamiltonian and both integrals (all three can be written as differential operators with polynomial coefficients without a constant term), they have polynomial eigenfunctions with the invariants of the discrete symmetry group of invariance taken as variables, they have hidden (Lie) algebraic structure $g^{(k)}$ with various $k$, and they possess a (finite order) polynomial algebras of integrals. Each model is characterized by infinitely-many finite-dimensional invariant subspaces, which form the infinite flag. Each subspace coincides with the finite-dimensional representation space of the algebra $g^{(k)}$ for a certain $k$. In all presented cases the algebra of integrals is a 4-generated $(H, I_1, I_2, I_{12}\equiv[I_1, I_2])$ infinite-dimensional algebra of ordered monomials of degrees 2,3,4,5, which is a subalgebra of the universal enveloping algebra of the hidden algebra.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,平面空間における6つの2次元量子可積分系の詳細な解析について述べる。 Smorodinsky-Winternitz ポテンシャル I-II (ホルトポテンシャル)、Fokas-Lagerstrom モデル、3body Calogero モデル、Wolfes モデル ($G_2$ rational, or $I_6$) モデル、Tremblay-Turbiner-Winternitz (TTW) システムなどである。 これらはすべて正確に解決可能であることが示されており、モントリオール予想(2001年)を裏付け、ハミルトニアンと両方の積分の代数形式(いずれも定数項なしで多項式係数を持つ微分作用素として記述できる)を認め、変数として取られる不変量の離散対称性群の不変量を持つ多項式固有函数を持ち、様々な$k$の代数構造を持つ(Lie)代数構造 $g^{(k)}$ を隠蔽し、積分の(有限次)多項式代数を持つ。 各モデルは無限個の有限次元不変部分空間によって特徴づけられ、無限フラグを形成する。 各部分空間は、ある$k$に対して代数 $g^{(k)}$ の有限次元表現空間と一致する。 すべての実例において、積分の代数は 4-生成 $(H, I_1, I_2, I_{12}\equiv[I_1, I_2])$ 2,3,4,5 の順序単項の無限次元代数である。

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