論文の概要: Optimal Reduced Representatives of Quadratic APN Permutations in Odd Dimension
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.21169v1
- Date: Thu, 15 Oct 2026 03:26:54 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-16 19:13:16.159631
- Title: Optimal Reduced Representatives of Quadratic APN Permutations in Odd Dimension
- Title（参考訳）: オッド次元における2次APN置換の最適低減
- Abstract要約: 任意の奇数$nge5$に対して、すべての二次的ほぼ完全な非線形置換 $Q$ of $mathbbF_2n$ は可逆二進線型写像 $L$ と $A$ を許容する。
奇数$nge9$の場合、線形化とインジェクティブコファクタマップは、問題をバイナリプロジェクトを数えることに還元する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The formal derivative of the reduced polynomial representative of a map on a binary finite field depends on the coordinates, although its differential uniformity does not. This matters for lifting permutations to Galois rings: a polynomial over a Galois ring of characteristic a power of two greater than two permutes the ring exactly when its reduction permutes the residue field and the derivative of the reduction has no zero there. We prove that for every odd $n\ge5$, every quadratic almost perfect nonlinear permutation $Q$ of $\mathbb{F}_{2^n}$ admits invertible binary-linear maps $L$ and $A$ such that the derivative of the reduced representative of $L\circ Q\circ A$ has no zero and each of its nonempty fibres has exactly two elements. The range is exact: this fails for $n=3$, as computed earlier, and for even $n$ there are no such permutations. For $n\ge9$, a linearization and a projectively injective cofactor map reduce the problem to counting binary matrices: more than 5% of the invertible inputs $A$ succeed, more than half for $n\ge15$, without any classification. For $n=5,7$ we use two independent classifications and finite certificates. Consequently every such permutation is linearly equivalent to a counterexample to the reduced critical-point conjecture of Bartoli and Stănică that lifts to permutation polynomials of optimal differential uniformity over every Galois ring with this residue field. For odd $n\ge9$ the existence proof is checked in the Lean 4 proof assistant.
- Abstract（参考訳）: 二項有限体上の写像の縮小多項式代表の形式微分は座標に依存するが、その微分均一性は成立しない。
これはガロア環への置換を持ち上げるための問題であり、標数のガロア環上の多項式は、2より大きい2つのパワーが環を正確に置換する。
任意の奇数 $n\ge5$ に対して、すべての二次的ほぼ完全非線形置換 $Q$ of $\mathbb{F}_{2^n}$ は可逆二進線型写像 $L$ と $A$ を許容する。
これは$n=3$の場合、先に計算したように失敗し、$n$であってもそのような置換は存在しない。
n\ge9$の場合、線形化と射影射影補因子写像は、問題を二乗行列を数えることに還元する: 可逆入力の5%以上は成功し、半分以上は$n\ge15$となる。
n=5,7$の場合、2つの独立した分類と有限証明書を使用します。
したがって、そのような置換は、この剰余体を持つすべてのガロア環上の最適微分均一性の置換多項式に持ち上げるバルトーリとシュテニツの縮小臨界点予想の反例と線型に等しい。
奇妙な$n\ge9$の場合、存在証明はLean 4の証明アシスタントでチェックされます。
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