論文の概要: Residual-Based Adaptive Refinement in Hybrid Variational-Collocation PINNs for Singular Elliptic PDEs with Mixed Dirichlet-Neumann Boundary Conditions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.26458v1
• Date: Mon, 19 Oct 2026 14:11:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-23 17:29:36.297472
• Title: Residual-Based Adaptive Refinement in Hybrid Variational-Collocation PINNs for Singular Elliptic PDEs with Mixed Dirichlet-Neumann Boundary Conditions
• Title（参考訳）: 混合ディリクレ-ノイマン境界条件を持つ特異なPDEに対するハイブリッド変分コロケーションPINNの残差適応化
• Abstract要約: 2階の解法。 混合ディリクレ-ノイマンを持つ非あるいはクラック領域上のPDE問題 通常、条件は$H$の外にある。 本稿では,ハイブリッド変分位置におけるハイブリッド変分ベース残量ベース適応補正について述べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Solutions of second-order elliptic PDE problems on nonconvex or cracked domains with mixed Dirichlet-Neumann conditions typically lie outside $H^2(Ω)$. Near re-entrant corners, crack tips and points where the boundary condition changes type, the gradient grows like $r^{λ-1}$ with $λ<1$. We study residual-based adaptive refinement in hybrid variational-collocation PINNs. A multiscale Fourier-feature network is trained on a composite loss. The loss combines a variational residual tested against Legendre bubble functions, a strong-form collocation term and penalties for the Dirichlet and Neumann data. The variational term needs only first derivatives of the network, whereas the collocation term requires second derivatives and provides a residual that can be evaluated at any point. After each training stage, candidate points selected by this residual are added to the collocation set. The method is tested on five two dimensional benchmarks, namely a Mode~III crack, a cross-shaped domain with four re-entrant corners with unequal amplitude, a reaction-diffusion problem with four localized peaks, a monotone semilinear problem with a boundary layer and the Motz problem. Compared with uniform point insertion under the same collocation and iteration budget, residual-based refinement reduced the relative $L^2$ error by up to a factor of $32$, the relative $L^\infty$ error by up to a factor of $38$ and the relative $H^1$ semi-norm error by up to a factor of $15$.
• Abstract（参考訳）: 非凸あるいは混合ディリクレ・ノイマン条件のクラック領域上の二階楕円型PDE問題の解は通常、$H^2(Ω)$の外にある。 境界条件がタイプを変化させる点、ひび割れ角、および点の近くで、勾配は$r^{λ-1}$で$λ<1$になる。 ハイブリッド型変分座標PINNにおける残差に基づく適応補正について検討した。 複合損失に基づいて、マルチスケールのフーリエ・フィーチャーネットワークを訓練する。 この損失は、ルジャンドルバブル関数に対して検証された変分残差、強い形式のコロケーション項、ディリクレとノイマンのデータに対する罰則を組み合わせたものである。 変分項はネットワークの第1微分のみを必要とするが、コロケーション項は第2微分を必要とし、任意の点で評価できる残留物を提供する。 トレーニング段階毎に、この残差により選択された候補点をコロケーションセットに追加する。 この方法は5つの2次元ベンチマーク、すなわちモード~IIIクラック、不等振幅の4つの再入射角を持つ断面領域、四つの局所ピークを持つ反応拡散問題、境界層を持つ単調半線形問題、モッツ問題で試験される。 同じコロケーションと反復予算の下での均一点挿入と比較すると、相対的な$L^2$エラーを最大32ドル、相対的な$L^\infty$エラーを最大38ドル、相対的な$H^1$セミノルムエラーを最大15ドルまで削減した。

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