論文の概要: A Deep Second-Order Stochastic Residual Method for Fully Nonlinear Parabolic PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.16730v1
- Date: Sat, 18 Jul 2026 09:43:15 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-21 18:48:37.247418
- Title: A Deep Second-Order Stochastic Residual Method for Fully Nonlinear Parabolic PDEs
- Title（参考訳）: 完全非線形パラボリックPDEの深部2次確率的残差法
- Abstract要約: 本稿では,高次元ヘッセン系完全非線形放物型PDEのためのディープ2次残差法(D2SRM)を提案する。
一つの時空ネットワークは、解、勾配、およびヘッセンの微分整合近似を生成する。
100次元のベンチマーク実験では、終端処理を比較し、証明された小ゲイン範囲内外におけるヘッセン結合を探索し、時間ステップが減少するにつれて誤差が減少することを示した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9023847175654603
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce the Deep Second-Order Stochastic Residual Method (D2SRM) for high-dimensional, Hessian-dependent fully nonlinear parabolic PDEs. A single scalar space--time network generates derivative-consistent approximations of the solution, gradient, and Hessian, which are trained jointly through second-order Brownian one-step residuals and terminal value and gradient penalties. For globally Lipschitz equations with identity diffusion and sufficiently weak Hessian coupling, we establish well-posedness in a Brownian occupation space and develop a population-level convergence theory. Under additional regularity, an a posteriori estimate bounds the squared full-jet occupation error of any admissible candidate by the time step and its population objective. For approximate population minimizers, the error bound separates time discretization, neural approximation, and population suboptimality; when the latter two terms are $O(h)$, the full-jet occupation norm is $O(h^{1/2})$. Experiments on a 100-dimensional manufactured benchmark compare terminal treatments, probe Hessian couplings inside and outside the proved small-gain range, and show decreasing errors as the time step decreases. The code is available at https://github.com/ZZHPKU/D2SRM.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元ヘッセン系完全非線形放物型PDEのためのD2SRM(Deep Second-Order Stochastic Residual Method)を提案する。
単一スカラー時空ネットワークは、溶液、勾配、およびヘッセンの微分整合近似を生成し、これは2階ブラウンの一段階残差と終値と勾配のペナルティを通じて共同で訓練される。
恒等拡散と十分に弱いヘッセン結合を持つ大域的リプシッツ方程式に対して、ブラウンの占有空間において十分正当性を確立し、集団レベルの収束理論を発達させる。
追加の正則性の下では、後続推定は、時間ステップとその人口目標によって許容可能な任意の候補の正方形のフルジェットの占有誤差を限定する。
近似的な人口最小化の場合、誤差境界は時間離散化、神経近似、集団準最適を分離し、後者の2つの項が$O(h)$の場合、フルジェットの占有ノルムは$O(h^{1/2})$である。
100次元のベンチマーク実験では、終端処理を比較し、証明された小ゲイン範囲の内外ヘッセン結合をプローブし、時間ステップが減少するにつれて誤差が減少することを示した。
コードはhttps://github.com/ZHPKU/D2SRMで公開されている。
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