論文の概要: Learning Normal Coordinates on Riemannian Manifolds with Flow Charts

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.28302v1
• Date: Tue, 20 Oct 2026 14:45:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-21 21:58:47.859307
• Title: Learning Normal Coordinates on Riemannian Manifolds with Flow Charts
• Title（参考訳）: フローチャートを用いたリーマン多様体上の正規座標の学習
• Abstract要約: 我々は条件付き可逆ニューラルネットワークを訓練し、与えられたリーマン多様体上の点の周りの正規座標を近似する。 このアプローチにより、指数写像と対数写像はモデルの学習座標空間における高速ユークリッド演算によって近似することができる。 我々の主な貢献は、非負であり、適切な領域仮定の下では、チャートが正規であるときに正確にゼロである、フローチャートを訓練するための効率的な損失関数である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3198689566654105
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Riemannian manifolds are powerful models for problems with non-Euclidean structure. Recent work in geometric machine learning has focused on training deep neural networks to learn Riemannian metrics from high-dimensional data. However, many geometric algorithms require repeated evaluations of the exponential and logarithmic maps, whose high computational cost restricts the utility of learned Riemannian manifolds in practice. We propose to address this cost by training a conditional invertible neural network, called a flow chart, to approximate normal coordinates around points on a given Riemannian manifold. With this approach, the exponential and logarithmic maps can be approximated by fast Euclidean operations in the model's learned coordinate space. Our main contribution is an efficient loss function for training flow charts that is nonnegative and, under suitable domain assumptions, is zero precisely when the chart is normal. Across sixteen synthetic and data-derived geometries, flow charts are competitive with a specialized neural geodesic interpolator for logarithmic map estimation, while also being able to estimate the exponential map. When pretrained, flow charts provide a median speedup of 60-70x over numerical baselines at comparable logarithmic map estimation error, and their learned coordinates improve the accuracy of a numerical geodesic solver.
• Abstract（参考訳）: リーマン多様体は非ユークリッド構造に関する問題に対する強力なモデルである。 幾何学的機械学習における最近の研究は、高次元データからリーマン計量を学ぶためにディープニューラルネットワークを訓練することに焦点を当てている。 しかし、多くの幾何アルゴリズムは指数写像と対数写像の繰り返し評価を必要とし、その高い計算コストは実際に学習されたリーマン多様体の効用を制限する。 我々は、与えられたリーマン多様体上の点の周りの正規座標を近似するために、フローチャートと呼ばれる条件付き可逆ニューラルネットワークを訓練することで、このコストに対処することを提案する。 このアプローチにより、指数写像と対数写像はモデルの学習座標空間における高速ユークリッド演算によって近似することができる。 我々の主な貢献は、非負であり、適切な領域仮定の下では、チャートが正規であるときに正確にゼロである、フローチャートを訓練するための効率的な損失関数である。 16の合成およびデータ由来のジオメトリにまたがって、フローチャートは対数マップ推定のための特別な神経測地補間器と競合し、指数写像を推定することができる。 事前学習された場合、フローチャートは対数マップ推定誤差で数値ベースライン上で60～70倍の中央値のスピードアップを提供し、その学習座標は数値測地分解器の精度を向上する。

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