論文の概要: Lifting PCA in the Wasserstein Space

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.29679v1
• Date: Wed, 21 Oct 2026 12:57:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-23 00:40:06.36534
• Title: Lifting PCA in the Wasserstein Space
• Title（参考訳）: ワッサーシュタイン空間におけるPCAのリフティング
• Abstract要約: 我々は、ユークリッドPCAの標準拡張であるLifted PCAをワッサーシュタイン空間に導入する。 我々は、ユークリッドPCAのスティーフェルとグラスマンの定式化の間の同値性の正確な類似性を確立する。 また、経験的推定器の統計的整合性を確立し、計算アルゴリズムを開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.610981631776706
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Principal Component Analysis (PCA) is a fundamental tool for statistical dimension reduction, yet no canonical extension to distribution-valued data has emerged within the framework of optimal transport. While Wasserstein barycenters and Wasserstein least-squares regression provide canonical liftings of Euclidean averaging and linear regression in the Wasserstein space, an analogous principle for PCA has remained unexplored. In this paper, we introduce Lifted PCA, a canonical extension of Euclidean PCA to Wasserstein space, obtained through the framework of lifting functionals in the space of probability measures by convex extension. Starting from the classical variational formulations of PCA on the Stiefel and Grassmann manifolds, we derive two equivalent minimization problems over probability measures supported on these manifolds that correspond to Wasserstein barycenters with generalized costs. We establish an exact analogue of the equivalence between the Stiefel and Grassmann formulations of Euclidean PCA, preserving PCA's original variational structure under lifting. We further derive dual formulations and optimality conditions, and establish equivalences with multimarginal optimal transport and matching-for-teams problems. We also establish statistical consistency for empirical estimators and develop computational algorithms based on the Wasserstein barycenter formulation over the Stiefel manifold. Whereas Euclidean PCA summarizes vectors through projections onto an optimal low-dimensional linear subspace, Lifted PCA summarizes probability distributions through an optimal probability measure supported on multiple low-dimensional subspaces. Numerical experiments on distributional datasets illustrate the practical performance of the proposed methodology and its benefits for distributional data analysis.
• Abstract（参考訳）: 主成分分析(PCA)は、統計次元の低減のための基本的なツールであるが、最適輸送の枠組みの中に分布値データへの標準拡張は現れていない。 Wasserstein barycenters と Wasserstein least-squares は、ワッサーシュタイン空間におけるユークリッド平均化と線型回帰の標準的リフトを提供するが、PCA の同様の原理はいまだ探索されていない。 本稿では、凸拡大による確率測度空間における関数を持ち上げる枠組みを通じて得られたユークリッドPCAのワッサーシュタイン空間への標準拡張であるLifted PCAを紹介する。 スティーフェル多様体とグラスマン多様体上のPCAの古典的変分形式から始め、一般化されたコストでワッサーシュタイン・バリセンターに対応するこれらの多様体上で支持される確率測度に対する2つの等価な最小化問題を導出する。 我々は、ユークリッドPCAのスティーフェルとグラスマンの定式化の同値性を正確に類似させ、PCAの元々の変分構造を保存する。 さらに、二重定式化と最適性条件を導出し、マルチマルジナルな最適輸送とマッチング・フォー・チーム問題と等価性を確立する。 また、経験的推定器の統計的整合性を確立し、スティーフェル多様体上のワッサーシュタイン・バリセンターの定式化に基づく計算アルゴリズムを開発する。 ユークリッドPCAは、最適低次元線型部分空間への射影を通してベクトルを要約するのに対し、Lifted PCAは複数の低次元部分空間で支持される最適確率測度を通して確率分布を要約する。 分布データセットに関する数値実験は,提案手法の実用的性能と分布データ解析の利点を実証するものである。

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