論文の概要: Beyond Unit-Circle Eigenvalues: Invariant Bases for Stable State Space Dynamics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2611.02174v2
- Date: Tue, 03 Nov 2026 17:31:43 GMT
- ステータス: 情報取得中
- システム内更新日: 2026-11-04 17:50:26.167486
- Title: Beyond Unit-Circle Eigenvalues: Invariant Bases for Stable State Space Dynamics
- Title（参考訳）: 単位回路固有値を超えて:安定な状態空間ダイナミクスのための不変基底
- Abstract要約: 現在の設計では1つの量に制約があり、他の量の保存は保証されないため、モデルが機械の精度を基準に保ち、運動量も数百パーセント減少する。
対角的再発の保存量は層状であり、各層は演算子に対して厳密な条件を必要とし、単位モジュラースペクトルは最外界にしか達しないと主張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.695799452859879
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- Abstract: Diagonal state space models process long sequences at linear cost, yet the same transition is applied at every step of a rollout, so an unconstrained recurrence holds no quantity fixed and the state decays or grows without bound. Current designs constrain one quantity, and preserving one does not guarantee preservation of the others, so a model can hold its norm to machine precision while momentum drifts by hundreds of percent. We claim that the conserved quantities of a diagonal recurrence are layered, that each layer requires a strictly stronger condition on the operator, and that a unit-modulus spectrum reaches only the outermost. Acting on the claim, we enforce the conditions required for every layer by construction. The generator of the Kronecker-Cayley transition (KC) is a graph Laplacian over object subspaces, $\mathbf{H}=\mathbf{L}\otimes I_m$, advanced by a Cayley transform, and the step stays diagonal at $O(N^3+N^2m)$ cost. The conserved set is exactly a $2m^2$-dimensional family of quadratic forms, held at every parameter value, so the quantities and the dynamics the construction reaches are fixed before training. On four conservation benchmarks, KC holds total mass at or near the reference floor while every diagonal baseline loses it by orders of magnitude. We further compare against mass correction and find that two correctors fail once the underlying prediction diverges, which shows that assembly rather than correction is necessary for a guarantee that holds across the rollout. A free modal basis trained under a conservation penalty conserves only by freezing its spectrum, whereas the assembled operator conserves with every mode but one free to rotate. Beyond these benchmarks, KC holds the linear momentum of three $N$-body systems and, at the operator level, the conserved quantity in molecular dynamics, chemical kinetics, pharmacokinetics and power-grid swing dynamics.
- Abstract（参考訳）: 対角状態空間モデルは長い列を線形コストで処理するが、ロールアウトのすべてのステップで同じ遷移が適用されるので、制約のない再発は固定量を保持しず、状態は境界なしに崩壊または成長する。
現在の設計では1つの量に制約があり、他の量の保存は保証されないため、モデルが機械の精度を基準に保ち、運動量も数百パーセント減少する。
対角的再発の保存量は層状であり、各層は演算子に対して厳密な条件を必要とし、単位モジュラースペクトルは最外界にしか達しないと主張する。
請求に基づいて,各層に要求される条件を建設により強制する。
KC (Kronecker-Cayley transition) の生成元は、オブジェクト部分空間上のグラフラプラシアンであり、$\mathbf{H}=\mathbf{L}\otimes I_m$、ケイリー変換によって進行し、ステップは$O(N^3+N^2m)$コストで対角に留まる。
保存された集合はちょうど2m^2$-次元の二次形式の族であり、全てのパラメータ値に保持されるので、構成が到達する量とダイナミクスは訓練前に固定される。
4つの保存ベンチマークでは、KCは基準床またはその近くで総質量を持ち、すべての対角線は桁違いに減少する。
さらに、質量補正との比較を行い、基礎となる予測が分岐すると2つの補正器が故障することを見出した。
保存的ペナルティの下で訓練された自由モード基底はスペクトルを凍結することによってのみ保存されるのに対し、組み立てられた演算子は全てのモードで保存されるが、回転は自由である。
これらのベンチマークの他に、KCは3つの$N$-body系の線形運動量を持ち、演算子レベルでは分子動力学、化学動力学、薬物動態学、パワーグリッド・スウィング力学の保存量を保持する。
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